Encontre o limite ou demonstre que não existe.

Passo 1

Vamos resolver o limite . Esse exercício faz parte do estudo de limites de funções quando tende ao infinito. Para resolver, precisamos entender como o numerador e o denominador se comportam à medida que cresce sem limites.

Passo 2

Observamos que, conforme se aproxima de infinito, o termo no denominador cresce muito mais rapidamente do que o termo constante 3. Isso significa que, para valores grandes de , a expressão é aproximadamente igual a .

Passo 3

Então, podemos simplificar a fração considerando apenas o termo dominante no denominador:

Passo 4

Agora, calculamos o limite da expressão simplificada:
Isso porque, conforme cresce sem limites, também cresce sem limites, tornando a fração cada vez menor, aproximando-se de zero.

Passo 5

Vamos resolver o limite . Esse exercício está relacionado ao cálculo de limites de funções racionais envolvendo termos polinomiais e radicais quando tende ao infinito. Precisaremos identificar os termos de maior grau no numerador e no denominador para determinar o comportamento da função.

Passo 6

Primeiro, analisamos os termos de maior grau no numerador e no denominador. No numerador, temos que é e . O termo dominante é . No denominador, temos e . O termo dominante é .

Passo 7

Com base nisso, simplificamos a fração considerando apenas os termos de maior grau:

Passo 8

Agora, calculamos o limite da expressão simplificada:
Isso indica que, para valores muito grandes de , a função se aproxima de .

Passo 9

Vamos resolver o limite . Este exercício envolve o cálculo de limites de funções que contêm radicais e termos polinomiais quando tende a negativo infinito. Precisamos identificar os termos que dominam o comportamento da função nessas condições.

Passo 10

Primeiro, observamos os termos de maior grau dentro do radical no numerador e nos termos do denominador. No numerador, domina sobre o 1, então , considerando que , e (já que é negativo).
No denominador, o termo domina sobre o 2.

Passo 11

Simplificamos a fração considerando apenas os termos de maior grau:

Passo 12

Calculamos o limite da expressão simplificada:
Isso mostra que, quando tende a , a função se aproxima de .

Passo 13

Vamos resolver o limite . Este exercício envolve limites de funções que contêm radicais com termos quadráticos, onde tende ao infinito. Precisamos manipular a expressão para simplificar e identificar o comportamento dominante.

Passo 14

Primeiro, notamos que, para , domina sobre e dentro dos radicais. Então, podemos aproximar:

Passo 15

Subtraindo as duas expressões aproximadas:

Passo 16

Como os termos de se cancelam, o limite se reduz a uma constante:

Passo 17

Vamos resolver o limite . Este exercício trata do cálculo de limites de funções polinomiais quando tende a . Precisamos identificar o termo de maior grau que domina o comportamento da função.

Passo 18

Analisando os termos da função, temos e . O termo de maior grau é , já que . Portanto, para , o comportamento da função será dominado por .

Passo 19

Como está tendendo a , e a potência é ímpar, será negativo. Multiplicando por 2, temos tendendo a .

Passo 20

Vamos resolver o limite . Este exercício envolve limites de funções que contêm funções trigonométricas e polinomiais quando tende ao infinito. Precisamos entender como se comporta o numerador e o denominador nessas condições.

Passo 21

Sabemos que oscila entre 0 e 1 para todo , ou seja, . Por outro lado, o denominador cresce sem limites conforme .

Passo 22

Como o numerador está limitado e o denominador cresce sem limites, a fração inteira tende a zero. Podemos aplicar o Teorema do Confronto (ou Squeeze Theorem) para confirmar isso.

Passo 23

Aplicando o Teorema do Confronto:
E sabemos que:
Portanto, pelo Teorema do Confronto:

Passo 24

Vamos resolver o limite . Este exercício envolve limites de funções racionais onde tanto o numerador quanto o denominador são polinômios de segundo grau. Precisamos identificar os termos que dominam o comportamento da função conforme tende ao infinito.

Passo 25

Analisamos os termos de maior grau no numerador e no denominador. No numerador, o termo dominante é . No denominador, o termo dominante é .

Passo 26

Simplificamos a fração dividindo todos os termos por , o qual é o maior grau presente:

Passo 27

Agora, calculamos o limite dos termos individuais:

Passo 28

Vamos resolver o limite . Este exercício envolve o cálculo de limites de funções compostas, especificamente a função arco-tangente aplicada à exponencial quando se aproxima de pelo lado positivo. Precisamos avaliar como cada parte da função se comporta nessa condição.

Passo 29

Primeiro, analisamos o comportamento de quando . Sabemos que e que é contínua, então:

Passo 30

Em seguida, aplicamos a função ao limite encontrado:

Passo 31

Sabemos que , pois a tangente de é 1.

Passo 32

Vamos resolver o limite . Este exercício envolve limites de funções que combinam logaritmos e polinômios. Precisamos manipular as propriedades dos logaritmos para simplificar a expressão e identificar seu comportamento quando tende ao infinito.

Passo 33

Utilizamos a propriedade dos logaritmos que diz que . Então, podemos reescrever a expressão da seguinte forma:

Passo 34

Agora, analisamos o limite da fração dentro do logaritmo:
Para , o termo dominante no numerador é e no denominador é . Portanto, a fração se aproxima de:

Passo 35

Agora, substituímos de volta na expressão do logaritmo:
E calculamos o limite:
Isso porque cresce sem limites conforme tende ao infinito.

Passo 36

Vamos resolver o limite . Este exercício combina funções logarítmicas e polinomiais, e envolve determinar o comportamento da expressão quando tende ao infinito. Precisamos simplificar a expressão utilizando propriedades dos logaritmos e analisar os termos dominantes.

Passo 37

Primeiro, aplicamos a propriedade dos logaritmos que permite a subtração de logaritmos:

Passo 38

Agora, analisamos a fração dentro do logaritmo para :
Para grandes valores de , os termos de maior grau dominam. Assim, no numerador e no denominador são os termos dominantes. Podemos simplificar a fração dividindo numerador e denominador por :

Passo 39

Substituímos de volta na expressão do logaritmo e calculamos o limite:
E:
Porque cresce sem limites conforme aumenta.

Resposta

O limite é igual a .

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