Encontre o limite ou demonstre que não existe.
Passo 1
Vamos resolver o limite
. Esse exercício faz parte do estudo de limites de funções quando
tende ao infinito. Para resolver, precisamos entender como o numerador e o denominador se comportam à medida que
cresce sem limites.
Passo 2
Observamos que, conforme
se aproxima de infinito, o termo
no denominador cresce muito mais rapidamente do que o termo constante 3. Isso significa que, para valores grandes de
, a expressão
é aproximadamente igual a
.
Passo 3
Então, podemos simplificar a fração considerando apenas o termo dominante no denominador:
Passo 4
Agora, calculamos o limite da expressão simplificada:
Isso porque, conforme
cresce sem limites,
também cresce sem limites, tornando a fração
cada vez menor, aproximando-se de zero.
Passo 5
Vamos resolver o limite
. Esse exercício está relacionado ao cálculo de limites de funções racionais envolvendo termos polinomiais e radicais quando
tende ao infinito. Precisaremos identificar os termos de maior grau no numerador e no denominador para determinar o comportamento da função.
Passo 6
Primeiro, analisamos os termos de maior grau no numerador e no denominador. No numerador, temos
que é
e
. O termo dominante é
. No denominador, temos
e
. O termo dominante é
.
Passo 7
Com base nisso, simplificamos a fração considerando apenas os termos de maior grau:
Passo 8
Agora, calculamos o limite da expressão simplificada:
Isso indica que, para valores muito grandes de
, a função se aproxima de
.
Passo 9
Vamos resolver o limite
. Este exercício envolve o cálculo de limites de funções que contêm radicais e termos polinomiais quando
tende a negativo infinito. Precisamos identificar os termos que dominam o comportamento da função nessas condições.
Passo 10
Primeiro, observamos os termos de maior grau dentro do radical no numerador e nos termos do denominador. No numerador,
domina sobre o 1, então
, considerando que
, e
(já que
é negativo).
No denominador, o termo
domina sobre o 2.
Passo 11
Simplificamos a fração considerando apenas os termos de maior grau:
Passo 12
Calculamos o limite da expressão simplificada:
Isso mostra que, quando
tende a
, a função se aproxima de
.
Passo 13
Vamos resolver o limite
. Este exercício envolve limites de funções que contêm radicais com termos quadráticos, onde
tende ao infinito. Precisamos manipular a expressão para simplificar e identificar o comportamento dominante.
Passo 14
Primeiro, notamos que, para
,
domina sobre
e
dentro dos radicais. Então, podemos aproximar:
Passo 15
Subtraindo as duas expressões aproximadas:
Passo 16
Como os termos de
se cancelam, o limite se reduz a uma constante:
Passo 17
Vamos resolver o limite
. Este exercício trata do cálculo de limites de funções polinomiais quando
tende a
. Precisamos identificar o termo de maior grau que domina o comportamento da função.
Passo 18
Analisando os termos da função, temos
e
. O termo de maior grau é
, já que
. Portanto, para
, o comportamento da função será dominado por
.
Passo 19
Como
está tendendo a
, e a potência
é ímpar,
será negativo. Multiplicando por 2, temos
tendendo a
.
Passo 20
Vamos resolver o limite
. Este exercício envolve limites de funções que contêm funções trigonométricas e polinomiais quando
tende ao infinito. Precisamos entender como se comporta o numerador e o denominador nessas condições.
Passo 21
Sabemos que
oscila entre 0 e 1 para todo
, ou seja,
. Por outro lado, o denominador
cresce sem limites conforme
.
Passo 22
Como o numerador está limitado e o denominador cresce sem limites, a fração inteira tende a zero. Podemos aplicar o Teorema do Confronto (ou Squeeze Theorem) para confirmar isso.
Passo 23
Aplicando o Teorema do Confronto:
E sabemos que:
Portanto, pelo Teorema do Confronto:
Passo 24
Vamos resolver o limite
. Este exercício envolve limites de funções racionais onde tanto o numerador quanto o denominador são polinômios de segundo grau. Precisamos identificar os termos que dominam o comportamento da função conforme
tende ao infinito.
Passo 25
Analisamos os termos de maior grau no numerador e no denominador. No numerador, o termo dominante é
. No denominador, o termo dominante é
.
Passo 26
Simplificamos a fração dividindo todos os termos por
, o qual é o maior grau presente:
Passo 27
Agora, calculamos o limite dos termos individuais:
Passo 28
Vamos resolver o limite
. Este exercício envolve o cálculo de limites de funções compostas, especificamente a função arco-tangente aplicada à exponencial quando
se aproxima de
pelo lado positivo. Precisamos avaliar como cada parte da função se comporta nessa condição.
Passo 29
Primeiro, analisamos o comportamento de
quando
. Sabemos que
e que
é contínua, então:
Passo 30
Em seguida, aplicamos a função
ao limite encontrado:
Passo 31
Sabemos que
, pois a tangente de
é 1.
Passo 32
Vamos resolver o limite
. Este exercício envolve limites de funções que combinam logaritmos e polinômios. Precisamos manipular as propriedades dos logaritmos para simplificar a expressão e identificar seu comportamento quando
tende ao infinito.
Passo 33
Utilizamos a propriedade dos logaritmos que diz que
. Então, podemos reescrever a expressão da seguinte forma:
Passo 34
Agora, analisamos o limite da fração dentro do logaritmo:
Para
, o termo dominante no numerador é
e no denominador é
. Portanto, a fração se aproxima de:
Passo 35
Agora, substituímos de volta na expressão do logaritmo:
E calculamos o limite:
Isso porque
cresce sem limites conforme
tende ao infinito.
Passo 36
Vamos resolver o limite
. Este exercício combina funções logarítmicas e polinomiais, e envolve determinar o comportamento da expressão quando
tende ao infinito. Precisamos simplificar a expressão utilizando propriedades dos logaritmos e analisar os termos dominantes.
Passo 37
Primeiro, aplicamos a propriedade dos logaritmos que permite a subtração de logaritmos:
Passo 38
Agora, analisamos a fração dentro do logaritmo para
:
Para grandes valores de
, os termos de maior grau dominam. Assim,
no numerador e
no denominador são os termos dominantes. Podemos simplificar a fração dividindo numerador e denominador por
:
Passo 39
Substituímos de volta na expressão do logaritmo e calculamos o limite:
E:
Porque
cresce sem limites conforme
aumenta.
Resposta
O limite é igual a
.