Vamos resolver o limite . Esse exercício faz parte do estudo de limites de funções quando tende ao infinito. Para resolver, precisamos entender como o numerador e o denominador se comportam à medida que cresce sem limites.
Passo 2
Observamos que, conforme se aproxima de infinito, o termo no denominador cresce muito mais rapidamente do que o termo constante 3. Isso significa que, para valores grandes de , a expressão é aproximadamente igual a .
Passo 3
Então, podemos simplificar a fração considerando apenas o termo dominante no denominador:
Passo 4
Agora, calculamos o limite da expressão simplificada:
Isso porque, conforme cresce sem limites, também cresce sem limites, tornando a fração cada vez menor, aproximando-se de zero.
Passo 5
Vamos resolver o limite . Esse exercício está relacionado ao cálculo de limites de funções racionais envolvendo termos polinomiais e radicais quando tende ao infinito. Precisaremos identificar os termos de maior grau no numerador e no denominador para determinar o comportamento da função.
Passo 6
Primeiro, analisamos os termos de maior grau no numerador e no denominador. No numerador, temos que é e . O termo dominante é . No denominador, temos e . O termo dominante é .
Passo 7
Com base nisso, simplificamos a fração considerando apenas os termos de maior grau:
Passo 8
Agora, calculamos o limite da expressão simplificada:
Isso indica que, para valores muito grandes de , a função se aproxima de .
Passo 9
Vamos resolver o limite . Este exercício envolve o cálculo de limites de funções que contêm radicais e termos polinomiais quando tende a negativo infinito. Precisamos identificar os termos que dominam o comportamento da função nessas condições.
Passo 10
Primeiro, observamos os termos de maior grau dentro do radical no numerador e nos termos do denominador. No numerador, domina sobre o 1, então , considerando que , e (já que é negativo).
No denominador, o termo domina sobre o 2.
Passo 11
Simplificamos a fração considerando apenas os termos de maior grau:
Passo 12
Calculamos o limite da expressão simplificada:
Isso mostra que, quando tende a , a função se aproxima de .
Passo 13
Vamos resolver o limite . Este exercício envolve limites de funções que contêm radicais com termos quadráticos, onde tende ao infinito. Precisamos manipular a expressão para simplificar e identificar o comportamento dominante.
Passo 14
Primeiro, notamos que, para , domina sobre e dentro dos radicais. Então, podemos aproximar:
Passo 15
Subtraindo as duas expressões aproximadas:
Passo 16
Como os termos de se cancelam, o limite se reduz a uma constante:
Passo 17
Vamos resolver o limite . Este exercício trata do cálculo de limites de funções polinomiais quando tende a . Precisamos identificar o termo de maior grau que domina o comportamento da função.
Passo 18
Analisando os termos da função, temos e . O termo de maior grau é , já que . Portanto, para , o comportamento da função será dominado por .
Passo 19
Como está tendendo a , e a potência é ímpar, será negativo. Multiplicando por 2, temos tendendo a .
Passo 20
Vamos resolver o limite . Este exercício envolve limites de funções que contêm funções trigonométricas e polinomiais quando tende ao infinito. Precisamos entender como se comporta o numerador e o denominador nessas condições.
Passo 21
Sabemos que oscila entre 0 e 1 para todo , ou seja, . Por outro lado, o denominador cresce sem limites conforme .
Passo 22
Como o numerador está limitado e o denominador cresce sem limites, a fração inteira tende a zero. Podemos aplicar o Teorema do Confronto (ou Squeeze Theorem) para confirmar isso.
Passo 23
Aplicando o Teorema do Confronto:
E sabemos que:
Portanto, pelo Teorema do Confronto:
Passo 24
Vamos resolver o limite . Este exercício envolve limites de funções racionais onde tanto o numerador quanto o denominador são polinômios de segundo grau. Precisamos identificar os termos que dominam o comportamento da função conforme tende ao infinito.
Passo 25
Analisamos os termos de maior grau no numerador e no denominador. No numerador, o termo dominante é . No denominador, o termo dominante é .
Passo 26
Simplificamos a fração dividindo todos os termos por , o qual é o maior grau presente:
Passo 27
Agora, calculamos o limite dos termos individuais:
Passo 28
Vamos resolver o limite . Este exercício envolve o cálculo de limites de funções compostas, especificamente a função arco-tangente aplicada à exponencial quando se aproxima de pelo lado positivo. Precisamos avaliar como cada parte da função se comporta nessa condição.
Passo 29
Primeiro, analisamos o comportamento de quando . Sabemos que e que é contínua, então:
Passo 30
Em seguida, aplicamos a função ao limite encontrado:
Passo 31
Sabemos que , pois a tangente de é 1.
Passo 32
Vamos resolver o limite . Este exercício envolve limites de funções que combinam logaritmos e polinômios. Precisamos manipular as propriedades dos logaritmos para simplificar a expressão e identificar seu comportamento quando tende ao infinito.
Passo 33
Utilizamos a propriedade dos logaritmos que diz que . Então, podemos reescrever a expressão da seguinte forma:
Passo 34
Agora, analisamos o limite da fração dentro do logaritmo:
Para , o termo dominante no numerador é e no denominador é . Portanto, a fração se aproxima de:
Passo 35
Agora, substituímos de volta na expressão do logaritmo:
E calculamos o limite:
Isso porque cresce sem limites conforme tende ao infinito.
Passo 36
Vamos resolver o limite . Este exercício combina funções logarítmicas e polinomiais, e envolve determinar o comportamento da expressão quando tende ao infinito. Precisamos simplificar a expressão utilizando propriedades dos logaritmos e analisar os termos dominantes.
Passo 37
Primeiro, aplicamos a propriedade dos logaritmos que permite a subtração de logaritmos:
Passo 38
Agora, analisamos a fração dentro do logaritmo para :
Para grandes valores de , os termos de maior grau dominam. Assim, no numerador e no denominador são os termos dominantes. Podemos simplificar a fração dividindo numerador e denominador por :
Passo 39
Substituímos de volta na expressão do logaritmo e calculamos o limite: