Calcule as integrais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Esse problema está na área de Cálculo Integral, mais especificamente lidando com integrais de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de substituição e algumas identidades trigonométricas básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para os expoentes das funções seno e cosseno. Temos
e
. Uma estratégia comum é separar uma das funções para facilitar a substituição. Vamos separar uma potência ímpar de seno, pois isso nos permite usar a identidade
.
Passo 3
Vamos reescrever
como
. Assim, a integral fica:
Passo 4
Agora, vamos usar a identidade
para reescrever
:
Substituindo na integral:
Passo 5
Perceba que temos uma expressão complexa com
elevada a diferentes potências. Para simplificar, vamos fazer uma substituição. Vamos definir:
Então, a derivada de
em relação a
é:
Passo 6
Substituindo
e
na integral:
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Passo 7
Agora, a integral fica:
Vamos integrar termo a termo:
Simplificando:
Passo 8
Agora, substituímos
de volta na expressão:
Distribuindo o
:
Resposta
A integral
é igual a:
onde
é a constante de integração.
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Usando a regra de L
Calcule a integral
Calcule as integrais:
Determine a localização
do centróide do fio.