Calcule as integrais:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse problema está na área de Cálculo Integral, mais especificamente lidando com integrais de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de substituição e algumas identidades trigonométricas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para os expoentes das funções seno e cosseno. Temos e . Uma estratégia comum é separar uma das funções para facilitar a substituição. Vamos separar uma potência ímpar de seno, pois isso nos permite usar a identidade .

Passo 3

Vamos reescrever como . Assim, a integral fica:

Passo 4

Agora, vamos usar a identidade para reescrever :
Substituindo na integral:

Passo 5

Perceba que temos uma expressão complexa com elevada a diferentes potências. Para simplificar, vamos fazer uma substituição. Vamos definir:
Então, a derivada de em relação a é:

Passo 6

Substituindo e na integral:
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:

Passo 7

Agora, a integral fica:
Vamos integrar termo a termo:
Simplificando:

Passo 8

Agora, substituímos de volta na expressão:
Distribuindo o :

Resposta

A integral é igual a:
onde é a constante de integração.

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