Calcule as integrais: integral sen^5(2 x) cos ^2(2 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse problema está na área de Cálculo Integral, mais especificamente lidando com integrais de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de substituição e algumas identidades trigonométricas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para os expoentes das funções seno e cosseno. Temos e . Uma estratégia comum é separar uma das funções para facilitar a substituição. Vamos separar uma potência ímpar de seno, pois isso nos permite usar a identidade .

Passo 3

Vamos reescrever integral sin^4(2x) cdot sin(2x) cdot cos^2(2x) , dx como . Assim, a integral fica:

Passo 4

Agora, vamos usar a identidade sin^4(2x) = (sin^2(2x))^2 = (1 - cos^2(2x))^2 para reescrever integral (1 - cos^2(2x))^2 cdot sin(2x) cdot cos^2(2x) , dx :
Substituindo na integral:

Passo 5

Perceba que temos uma expressão complexa com u = cos(2x) elevada a diferentes potências. Para simplificar, vamos fazer uma substituição. Vamos definir:
du = -2 sin(2x) , dx Rightarrow sin(2x) , dx = -12 du
Então, a derivada de em relação a é:

Passo 6

Substituindo integral (1 - u^2)^2 cdot u^2 cdot (-12 du) = -12 integral (1 - u^2)^2 u^2 , du e (1 - u^2)^2 u^2 = (1 - 2u^2 + u^4) u^2 = u^2 - 2u^4 + u^6 na integral:
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:

Passo 7

Agora, a integral fica:
-12 integral (u^2 - 2u^4 + u^6) , du
Vamos integrar termo a termo:
-12 ( u^33 - 2 cdot u^55 + u^77 ) + C
Simplificando:
-12 ( u^33 - 2u^55 + u^77 ) + C

Passo 8

Agora, substituímos -12 ( cos^3(2x)3 - 2cos^5(2x)5 + cos^7(2x)7 ) + C de volta na expressão:
-cos^3(2x)6 + cos^5(2x)5 - cos^7(2x)14 + C
Distribuindo o :

Resposta

A integral -cos^3(2x)6 + cos^5(2x)5 - cos^7(2x)14 + C é igual a:
onde é a constante de integração.

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