Usando a regra de L lim x 0^+(e^6 x+3 x)^1x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular:
lim x 0^+(e^6 x+3 x)^1x
Esse exercício envolve o cálculo de limites e o uso da regra de L’Hôpital. Para resolver, vamos precisar entender como lidar com expressões do tipo quando se aproxima de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão usando logaritmos. Isso facilita o cálculo do limite. Vamos chamar o limite original de L = limx to 0^+ (e^6x + 3x)^1x :
ln L = limx to 0^+ ln(e^6x + 3x)x
Aplicando o logaritmo natural dos dois lados:
Agora, nosso objetivo é encontrar e depois exponentiar para achar .

Passo 3

Vamos analisar o numerador e^6x approx 1 + 6x . Para e^6x + 3x approx 1 + 6x + 3x = 1 + 9x próximo de 0, podemos aproximar ln(e^6x + 3x) approx ln(1 + 9x) usando a expansão de Taylor:
Então:
Portanto:

Passo 4

Agora, substituindo de volta na expressão para ln L = limx to 0^+ ln(1 + 9x)x :
Esse limite tem a forma quando tende a 0, então podemos aplicar a regra de L’Hôpital, que nos permite derivar o numerador e o denominador.

Passo 5

Vamos derivar o numerador e o denominador:
Derivada do numerador ddx ln(1 + 9x) = 91 + 9x em relação a ddx x = 1 :
ln L = limx to 0^+ 91 + 9x
Derivada do denominador em relação a :
Então, aplicando a regra de L’Hôpital:

Passo 6

Agora, basta calcular o limite:
ln L = limx to 0^+ 91 + 9x = 91 + 0 = 9
Então, .

Passo 7

Finalmente, para encontrar L = e^ln L = e^9 , vamos tirar a exponencial dos dois lados:

Resposta

O limite é .

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