Usando a regra de L

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular:
Esse exercício envolve o cálculo de limites e o uso da regra de L’Hôpital. Para resolver, vamos precisar entender como lidar com expressões do tipo quando se aproxima de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão usando logaritmos. Isso facilita o cálculo do limite. Vamos chamar o limite original de :
Aplicando o logaritmo natural dos dois lados:
Agora, nosso objetivo é encontrar e depois exponentiar para achar .

Passo 3

Vamos analisar o numerador . Para próximo de 0, podemos aproximar usando a expansão de Taylor:
Então:
Portanto:

Passo 4

Agora, substituindo de volta na expressão para :
Esse limite tem a forma quando tende a 0, então podemos aplicar a regra de L’Hôpital, que nos permite derivar o numerador e o denominador.

Passo 5

Vamos derivar o numerador e o denominador:
Derivada do numerador em relação a :
Derivada do denominador em relação a :
Então, aplicando a regra de L’Hôpital:

Passo 6

Agora, basta calcular o limite:
Então, .

Passo 7

Finalmente, para encontrar , vamos tirar a exponencial dos dois lados:

Resposta

O limite é .

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