Usando a regra de L
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular:
Esse exercício envolve o cálculo de limites e o uso da regra de L’Hôpital. Para resolver, vamos precisar entender como lidar com expressões do tipo
quando
se aproxima de zero.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão usando logaritmos. Isso facilita o cálculo do limite. Vamos chamar o limite original de
:
Aplicando o logaritmo natural dos dois lados:
Agora, nosso objetivo é encontrar
e depois exponentiar para achar
.
Passo 3
Vamos analisar o numerador
. Para
próximo de 0, podemos aproximar
usando a expansão de Taylor:
Então:
Portanto:
Passo 4
Agora, substituindo de volta na expressão para
:
Esse limite tem a forma
quando
tende a 0, então podemos aplicar a regra de L’Hôpital, que nos permite derivar o numerador e o denominador.
Passo 5
Vamos derivar o numerador e o denominador:
Derivada do numerador
em relação a
:
Derivada do denominador
em relação a
:
Então, aplicando a regra de L’Hôpital:
Passo 6
Agora, basta calcular o limite:
Então,
.
Passo 7
Finalmente, para encontrar
, vamos tirar a exponencial dos dois lados:
Resposta
O limite é
.
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