Beleza! A gente vai resolver a integral . Isso está dentro de Cálculo Integral, especificamente usando frações parciais. Pra resolver, vamos precisar decompor a fração em partes mais simples que a gente consiga integrar facilmente.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a fração como uma soma de frações parciais. Suponhamos que:
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.
Passo 3
Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum para eliminar as frações:
Passo 4
Agora, vamos expandir os termos no lado direito:
Passo 5
Vamos agrupar os termos semelhantes:
Passo 6
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equa�o:
Passo 7
Resolvendo o sistema de equações:
Da primeira equação: A = 145, B = 2 - 145 = -45, C = 6 + 145 = 445 .
Substituímos na segunda equação: → .
Substituímos na terceira equação: → → → .
Então:
Passo 8
Agora que temos 2x^2 + 8x + 20(x+1)(x^2+4) = 145x+1 + -45x + 445x^2+4 , = 145(x+1) + -4x + 445(x^2+4) e , substituímos de volta na decomposição inicial:
Podemos simplificar:
Passo 9
Agora, vamos separar a integral:
integral 2x^2 + 8x + 20(x+1)(x^2+4) , dx = 145 integral 1x+1 , dx + -45 integral xx^2+4 , dx + 445 integral 1x^2+4 , dx