Calcule as integrais integral (2 x^2+8 x+20) d x(x+1)(x^2+4)

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver a integral . Isso está dentro de Cálculo Integral, especificamente usando frações parciais. Pra resolver, vamos precisar decompor a fração em partes mais simples que a gente consiga integrar facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a fração 2x^2 + 8x + 20(x+1)(x^2+4) = Ax+1 + Bx + Cx^2+4 como uma soma de frações parciais. Suponhamos que:
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum 2x^2 + 8x + 20 = A(x^2 + 4) + (Bx + C)(x + 1) para eliminar as frações:

Passo 4

Agora, vamos expandir os termos no lado direito:
2x^2 + 8x + 20 = A x^2 + 4A + Bx(x) + Bx(1) + C(x) + C(1)
2x^2 + 8x + 20 = A x^2 + 4A + Bx^2 + Bx + Cx + C

Passo 5

Vamos agrupar os termos semelhantes:
2x^2 + 8x + 20 = (A + B) x^2 + (B + C) x + (4A + C)

Passo 6

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equa�o:
A + B = 2 B + C = 8 4A + C = 20

Passo 7

Resolvendo o sistema de equações:
  1. Da primeira equação: A = 145, B = 2 - 145 = -45, C = 6 + 145 = 445 .
  2. Substituímos na segunda equação: .
  3. Substituímos na terceira equação: .
Então:

Passo 8

Agora que temos 2x^2 + 8x + 20(x+1)(x^2+4) = 145x+1 + -45x + 445x^2+4 , = 145(x+1) + -4x + 445(x^2+4) e , substituímos de volta na decomposição inicial:
Podemos simplificar:

Passo 9

Agora, vamos separar a integral:
integral 2x^2 + 8x + 20(x+1)(x^2+4) , dx = 145 integral 1x+1 , dx + -45 integral xx^2+4 , dx + 445 integral 1x^2+4 , dx

Passo 10

Agora, vamos integrar cada termo:
  1. (usando substituição )
  2. (fórmula padrão)

Passo 11

Substituindo as integrações realizadas:
145 ln|x+1| + -45 cdot 12 ln|x^2+4| + 445 cdot 12 arctan(x2) + C
Simplificando:
145 ln|x+1| - 25 ln|x^2+4| + 225 arctan(x2) + C

Resposta

A integral vale:
145 ln|x+1| - 25 ln|x^2+4| + 225 arctan(x2) + C

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