Determine A área delimitada entre as curvas de f(x) = sex(x) e f(x) = cos(x), x pertence a [0, 2pi]

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para determinar a área delimitada entre as curvas de e no intervalo . Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo integral, especificamente a ideia de área entre curvas. Precisaremos identificar onde as duas funções se intersectam e calcular as integrais apropriadas para encontrar a área desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas funções se encontram, ou seja, onde . Sabemos que , então a equação fica:
Multiplicando ambos os lados por (desde que ), temos:
Isso nos dá . Dentro do intervalo , isso ocorre em , e .

Passo 3

Agora que sabemos onde as curvas se intersectam, vamos dividir o intervalo em partes onde uma curva está acima da outra. Os pontos de interseção dividem o intervalo em três partes:
Em cada um desses intervalos, vamos determinar qual função está acima da outra para configurar a integral correta.

Passo 4

Vamos analisar cada intervalo:
  1. Intervalo :
    • Aqui, e .
    • Portanto, .
  2. Intervalo :
    • Neste intervalo, e .
    • Aqui, porque ambos são negativos, mas tem um valor absoluto menor.
  3. Intervalo :
    • Novamente, e .
    • Assim, .

Passo 5

Com isso, podemos montar a expressão para a área total somando as áreas de cada intervalo:
Agora, vamos calcular cada uma dessas integrais.

Passo 6

Vamos resolver cada integral:
  1. Primeira Integral:
    Avaliando de a :
    Nota: tende ao infinito, mas a expressão converge para um valor finito após considerar os limites.
  2. Segunda Integral:
    Avaliando de a :
  3. Terceira Integral:
    Avaliando de a :

Passo 7

Somando os resultados das três integrais, teremos a área total delimitada entre as curvas no intervalo dado.

Resposta

Após calcular as integrais e somar os resultados, a área delimitada entre as curvas de e no intervalo é igual a unidades de área.

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