Determine A área delimitada entre as curvas de
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para determinar a área delimitada entre as curvas de
e
no intervalo
. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo integral, especificamente a ideia de área entre curvas. Precisaremos identificar onde as duas funções se intersectam e calcular as integrais apropriadas para encontrar a área desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas funções se encontram, ou seja, onde
. Sabemos que
, então a equação fica:
Multiplicando ambos os lados por
(desde que
), temos:
Isso nos dá
. Dentro do intervalo
, isso ocorre em
,
e
.
Passo 3
Agora que sabemos onde as curvas se intersectam, vamos dividir o intervalo
em partes onde uma curva está acima da outra. Os pontos de interseção dividem o intervalo em três partes:
Em cada um desses intervalos, vamos determinar qual função está acima da outra para configurar a integral correta.
Passo 4
Vamos analisar cada intervalo:
-
Intervalo
: - Aqui,
e . - Portanto,
.
- Aqui,
-
Intervalo
: - Neste intervalo,
e . - Aqui,
porque ambos são negativos, mas tem um valor absoluto menor.
- Neste intervalo,
-
Intervalo
: - Novamente,
e . - Assim,
.
- Novamente,
Passo 5
Com isso, podemos montar a expressão para a área total
somando as áreas de cada intervalo:
Agora, vamos calcular cada uma dessas integrais.
Passo 6
Vamos resolver cada integral:
-
Primeira Integral:Avaliando de
a : Nota:tende ao infinito, mas a expressão converge para um valor finito após considerar os limites. -
Segunda Integral:Avaliando de
a : -
Terceira Integral:Avaliando de
a :
Passo 7
Somando os resultados das três integrais, teremos a área total delimitada entre as curvas no intervalo dado.
Resposta
Após calcular as integrais e somar os resultados, a área delimitada entre as curvas de
e
no intervalo
é igual a
unidades de área.