Determine
Passo 1
Vamos resolver o limite
. Este problema envolve o cálculo de limites e funções exponenciais. Para resolver, vamos precisar utilizar propriedades dos logaritmos e entender o comportamento das funções trigonométricas próximas a zero.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão para facilitar o cálculo do limite. Podemos aplicar o logaritmo natural para transformar a potência em multiplicação:
Dessa forma, nosso limite original se transforma em:
Passo 3
Agora, vamos analisar cada parte da multiplicação:
-
: A cotangente de é dada por . À medida que se aproxima de 0, e . Portanto, . -
: Para valores de próximos a 0, podemos usar a aproximação .
Passo 4
Substituindo as aproximações na expressão do limite:
Portanto, o limite do produto é:
Passo 5
Lembrando que essa foi a expressão para
, onde
é o limite original que queremos encontrar:
Para encontrar
, aplicamos a função exponencial em ambos os lados:
Resposta
O limite
é igual a
.