Determine lim x 0^+(x+1)^cotg(x)

Passo 1

Vamos resolver o limite . Este problema envolve o cálculo de limites e funções exponenciais. Para resolver, vamos precisar utilizar propriedades dos logaritmos e entender o comportamento das funções trigonométricas próximas a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão para facilitar o cálculo do limite. Podemos aplicar o logaritmo natural para transformar a potência em multiplicação:
ln( (x + 1)^cot(x) ) = cot(x) cdot ln(x + 1)
Dessa forma, nosso limite original se transforma em:
limx to 0^+ cot(x) cdot ln(x + 1)

Passo 3

Agora, vamos analisar cada parte da multiplicação:
  1. : A cotangente de é dada por . À medida que se aproxima de 0, e . Portanto, .
  2. : Para valores de próximos a 0, podemos usar a aproximação .

Passo 4

Substituindo as aproximações na expressão do limite:
cot(x) cdot ln(x + 1) approx 1x cdot x = 1
Portanto, o limite do produto é:
limx to 0^+ cot(x) cdot ln(x + 1) = 1

Passo 5

Lembrando que essa foi a expressão para ln(L) = 1 , onde L = e^ln(L) = e^1 = e é o limite original que queremos encontrar:
Para encontrar , aplicamos a função exponencial em ambos os lados:

Resposta

O limite é igual a .

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