Calcule as integrais:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral de
. Isso envolve conhecimentos de cálculo integral e identidades trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula de redução de potências para funções trigonométricas, que ajuda a simplificar potências de cosseno ou seno.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar
usando uma identidade trigonométrica. A fórmula que vamos usar é:
Como temos
, podemos escrever isso como
.
Passo 3
Aplicando a fórmula de redução de potências, substituímos
:
Agora, vamos expandir esse quadrado:
Passo 4
Ainda temos
na expressão, que também pode ser simplificada com a mesma identidade. Aplicando novamente:
Substituindo de volta na expressão anterior:
Passo 5
Vamos simplificar essa expressão:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, podemos separar a integral em três partes:
Passo 7
Vamos integrar cada termo:
Substituindo de volta:
Simplificando:
Resposta
A integral de
é:
onde
é a constante de integração.