Calcule as integrais:
integral cos ^4(2 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral de cos^4(2x) , dx. Isso envolve conhecimentos de cálculo integral e identidades trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula de redução de potências para funções trigonométricas, que ajuda a simplificar potências de cosseno ou seno.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar cos^4(2x) usando uma identidade trigonométrica. A fórmula que vamos usar é:
cos^2(θ) = 1 + cos(2θ)2
Como temos cos^4(2x), podemos escrever isso como (cos^2(2x))^2.

Passo 3

Aplicando a fórmula de redução de potências, substituímos cos^2(2x):
cos^4(2x) = (1 + cos(4x)2)^2
Agora, vamos expandir esse quadrado:
cos^4(2x) = 1 + 2cos(4x) + cos^2(4x)4

Passo 4

Ainda temos cos^2(4x) na expressão, que também pode ser simplificada com a mesma identidade. Aplicando novamente:
cos^2(4x) = 1 + cos(8x)2
Substituindo de volta na expressão anterior:
cos^4(2x) = 1 + 2cos(4x) + 1 + cos(8x)24

Passo 5

Vamos simplificar essa expressão:
cos^4(2x) = 2 + 4cos(4x) + 1 + cos(8x)8 = 3 + 4cos(4x) + cos(8x)8
Então, a integral fica:
integral cos^4(2x) , dx = integral 3 + 4cos(4x) + cos(8x)8 , dx

Passo 6

Agora, podemos separar a integral em três partes:
integral cos^4(2x) , dx = 38 integral dx + 48 integral cos(4x) , dx + 18 integral cos(8x) , dx
= 38x + 12 integral cos(4x) , dx + 18 integral cos(8x) , dx

Passo 7

Vamos integrar cada termo:
  1. integral cos(4x) , dx = sin(4x)4
  2. integral cos(8x) , dx = sin(8x)8
Substituindo de volta:
38x + 12 cdot sin(4x)4 + 18 cdot sin(8x)8
Simplificando:
38x + sin(4x)8 + sin(8x)64

Resposta

A integral de cos^4(2x) , dx é:
38x + sin(4x)8 + sin(8x)64 + C
onde C é a constante de integração.

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