1. Considere as funções do exercício 01 . Verifique se f é contínua em x = a. Justifique.
  2. Para cada função f a seguir, determine D(f) e, se possível, a função g: R - 1 R, tal que g é contínua e g(x) = f(x), para todo x pertence a D(f) :
    a) f(x) = (x^2 - 9) / (3 - x)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função . Precisamos determinar o domínio dessa função, ou seja, todos os valores de para os quais a função está definida. Além disso, se possível, devemos encontrar uma função que seja contínua em todo o seu domínio e que coincida com onde está definida.

Passo 2

Vamos começar encontrando o domínio da função . O domínio de uma função racional como essa é todos os números reais exceto aqueles que tornam o denominador zero, pois divisão por zero não é permitida.
Então, encontramos os valores de que tornam o denominador zero:
Portanto, o domínio de é todos os reais menos 3:

Passo 3

Agora, vamos simplificar a função para ver se podemos encontrar uma forma mais simples que seja contínua. Observe que o numerador pode ser fatorado:
Substituindo isso na função :
Note que , então podemos reescrever:
Para , a expressão simplificada é:

Passo 4

Agora que simplificamos para , percebemos que essa é uma função polinomial linear, que é contínua em todo o seu domínio, que é .
Assim, podemos definir a função como:

Passo 5

Verificamos que é contínua em todos os reais e, além disso, coincide com para todo no domínio de , ou seja, para todo .

Resposta

O domínio de é . A função é contínua em todos os reais e satisfaz para todo no domínio de .

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