- Considere as funções do exercício 01 . Verifique se
é contínua em
. Justifique.
- Para cada função
a seguir, determine
, se possível, a função
, tal que g é contínua e
, para todo
:
a)
a)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
. Precisamos determinar o domínio dessa função, ou seja, todos os valores de
para os quais a função está definida. Além disso, se possível, devemos encontrar uma função
que seja contínua em todo o seu domínio e que coincida com
onde
está definida.
Passo 2
Vamos começar encontrando o domínio da função
. O domínio de uma função racional como essa é todos os números reais exceto aqueles que tornam o denominador zero, pois divisão por zero não é permitida.
Então, encontramos os valores de
que tornam o denominador zero:
Portanto, o domínio de
é todos os reais menos 3:
Passo 3
Agora, vamos simplificar a função
para ver se podemos encontrar uma forma mais simples que seja contínua. Observe que o numerador
pode ser fatorado:
Substituindo isso na função
:
Note que
, então podemos reescrever:
Para
, a expressão simplificada é:
Passo 4
Agora que simplificamos
para
, percebemos que essa é uma função polinomial linear, que é contínua em todo o seu domínio, que é
.
Assim, podemos definir a função
como:
Passo 5
Verificamos que
é contínua em todos os reais e, além disso, coincide com
para todo
no domínio de
, ou seja, para todo
.
Resposta
O domínio de
é
. A função
é contínua em todos os reais e satisfaz
para todo
no domínio de
.