Calcule as integrais:
integral raizcos (x) sen^3(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral . Estamos trabalhando com integração, especificamente usando substituição. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição que simplifique a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que podemos substituir para facilitar a integral. Observando u = cos(x) , podemos definir:
du = -sen(x) , dx
Agora, precisamos calcular a derivada de -du = sen(x) , dx em relação a :
Isso significa que:

Passo 3

Vamos reescrever a integral original em termos de integral raizcos(x) , sen^3(x) , dx = integral raizu cdot (1 - u^2) cdot sen(x) , dx e = integral raizu cdot (1 - u^2) cdot (-du) . Note que . Sabemos que .
Substituindo na integral:
Usando a relação que encontramos para = -integral u^1/2 (1 - u^2) , du :

Passo 4

Agora, vamos distribuir - integral (u^1/2 - u^5/2) , du = -integral u^1/2 , du + integral u^5/2 , du dentro dos parênteses:
- ( u^3/232 ) + ( u^7/272 ) + C
Integrando cada termo separadamente:
- ( 23 u^3/2 ) + ( 27 u^7/2 ) + C
Simplificando as frações:

Passo 5

Por fim, substituímos - 23 (cos(x))^3/2 + 27 (cos(x))^7/2 + C de volta por 27 (cos(x))^7/2 - 23 (cos(x))^3/2 + C :
Podemos reescrever ordenando os termos:

Resposta

27 ( cos(x) )^7/2 - 23 ( cos(x) )^3/2 + C

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