integral cos (m x) cos (n x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de cos(mx) cos(nx). Estamos no campo do cálculo, mais especificamente lidando com integrais que envolvem funções trigonométricas. Para isso, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas que ajudam a simplificar o produto de cossenos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma identidade bem útil: quando temos o produto de dois cossenos, a gente pode transformar isso em uma soma usando a seguinte fórmula:
cos(A) cos(B) = 12 [ cos(A + B) + cos(A - B) ]
Isso facilita bastante a hora de integrar, porque integrar uma soma é mais simples do que integrar um produto.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa identidade ao nosso caso. Aqui, A = mx e B = nx. Então, substituindo na fórmula, fica:
cos(mx) cos(nx) = 12 [ cos((m + n)x) + cos((m - n)x) ]

Passo 4

Com isso, nossa integral original fica assim:
integral cos(mx) cos(nx) , dx = 12 integral [ cos((m + n)x) + cos((m - n)x) ] dx
Agora, vamos integrar cada termo separadamente.

Passo 5

Sabemos que a integral de cos(kx) em relação a x é sin(kx)k, onde k �� uma constante. Usando isso, vamos integrar cada parte:
  1. A integral de cos((m + n)x) é sin((m + n)x)m + n.
  2. A integral de cos((m - n)x) é sin((m - n)x)m - n.

Passo 6

Juntando tudo, temos:
12 [ sin((m + n)x)m + n + sin((m - n)x)m - n ] + C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

A integral de cos(mx) cos(nx) , dx é:
12 ( sin((m + n)x)m + n + sin((m - n)x)m - n ) + C

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