Calcule a integral integral x^2 cos (4 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral x^2 cos (4 x) , dx. Isso está ligado ao estudo de integração por partes, uma técnica que usamos quando temos o produto de duas funções. Para resolver, vamos precisar aplicar a integração por partes duas vezes.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher quais partes da nossa integral serão u = x^2 e dv = cos(4x) , dx . Geralmente, escolhemos du = 2x , dx como a função que fica mais simples quando derivada. Aqui, vamos deixar:
v = integral cos(4x) , dx = 14 sin(4x)
Agora, precisamos derivar e integrar :

Passo 3

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Substituindo:
integral x^2 cos(4x) , dx = x^2 cdot 14 sin(4x) - integral 14 sin(4x) cdot 2x , dx
Simplificando:
= x^24 sin(4x) - 12 integral x sin(4x) , dx

Passo 4

Agora, vamos resolver a nova integral u = x usando integração por partes de novo. Escolhemos:
dv = sin(4x) , dx
du = dx
Derivando e integrando:
v = -14 cos(4x)
integral x sin(4x) , dx = x cdot (-14cos(4x)) - integral (-14cos(4x)) , dx
Aplicando a fórmula:
= -x4 cos(4x) + 116 sin(4x)
Simplificando:

Passo 5

Voltando à nossa expressão anterior:
integral x^2 cos(4x) , dx = x^24 sin(4x) - 12 (-x4 cos(4x) + 116 sin(4x))
Distribuindo o = x^24 sin(4x) + x8 cos(4x) - 132 sin(4x) :
= (x^24 - 132) sin(4x) + x8 cos(4x)
Agrupando os termos de :

Resposta

A integral é:
integral x^2 cos(4x) , dx = (x^24 - 132) sin(4x) + x8 cos(4x) + C
onde é a constante de integração.

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