Calcule as integrais. integral sen^3(x) cos ^5(x) d x.

Passo 1

Resumo do Enunciado e Conteúdo Necessário
Precisamos calcular a integral integral sin^3(x) cos^5(x) , dx. Para resolver isso, vamos usar técnicas de integração que envolvem identidades trigonométricas e substituição. Vamos precisar entender como manipular potências de senos e cossenos e aplicar a substituição para simplificar a integral.

Passo 2

Separando um Fator de Seno
Como a potência de seno é ímpar (3), podemos separar um fator de sin(x) da integral. Isso é útil porque podemos usar a identidade trigonométrica para simplificar a expressão restante. Assim, reescrevemos a integral da seguinte forma:
integral sin^3(x) cos^5(x) , dx = integral sin^2(x) cdot sin(x) cos^5(x) , dx

Passo 3

Aplicando a Identidade Trigonométrica
Sabemos que sin^2(x) = 1 - cos^2(x). Vamos substituir isso na integral:
integral (1 - cos^2(x)) cdot sin(x) cos^5(x) , dx
Agora, distribuímos sin(x) cos^5(x):
integral sin(x) cos^5(x) , dx - integral sin(x) cos^7(x) , dx

Passo 4

Aplicando a Substituição
Vamos fazer a substituição u = cos(x). Então, a derivada de u em relação a x é:
dudx = -sin(x) Rightarrow du = -sin(x) , dx Rightarrow -du = sin(x) , dx
Substituindo na integral:
integral sin(x) cos^5(x) , dx - integral sin(x) cos^7(x) , dx = -integral u^5 , du + integral u^7 , du

Passo 5

Calculando as Integrais Simples
Agora, integramos u^5 e u^7:
-integral u^5 , du = -u^66 + C1
integral u^7 , du = u^88 + C2
Juntando os resultados:
-u^66 + u^88 + C

Passo 6

Retornando para a Variável Original
Lembrando que u = cos(x), substituímos de volta:
-cos^6(x)6 + cos^8(x)8 + C

Resposta

A integral de sin^3(x) cos^5(x) , dx é:
-cos^6(x)6 + cos^8(x)8 + C
Onde C é a constante de integração.

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