Calcule as integrais. .

Passo 1

Resumo do Enunciado e Conteúdo Necessário
Precisamos calcular a integral . Para resolver isso, vamos usar técnicas de integração que envolvem identidades trigonométricas e substituição. Vamos precisar entender como manipular potências de senos e cossenos e aplicar a substituição para simplificar a integral.

Passo 2

Separando um Fator de Seno
Como a potência de seno é ímpar (3), podemos separar um fator de da integral. Isso é útil porque podemos usar a identidade trigonométrica para simplificar a expressão restante. Assim, reescrevemos a integral da seguinte forma:

Passo 3

Aplicando a Identidade Trigonométrica
Sabemos que . Vamos substituir isso na integral:
Agora, distribuímos :

Passo 4

Aplicando a Substituição
Vamos fazer a substituição . Então, a derivada de em relação a é:
Substituindo na integral:

Passo 5

Calculando as Integrais Simples
Agora, integramos e :
Juntando os resultados:

Passo 6

Retornando para a Variável Original
Lembrando que , substituímos de volta:

Resposta

A integral de é:
Onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Investigue a continuidade nos pontos indicados:
em .
Resolva o limite a seguir:
Calcule as integrais. .
Mostre através do Teorema de L