Calcule as integrais.
.
Passo 1
Resumo do Enunciado e Conteúdo Necessário
Precisamos calcular a integral
. Para resolver isso, vamos usar técnicas de integração que envolvem identidades trigonométricas e substituição. Vamos precisar entender como manipular potências de senos e cossenos e aplicar a substituição para simplificar a integral.
Passo 2
Separando um Fator de Seno
Como a potência de seno é ímpar (3), podemos separar um fator de
da integral. Isso é útil porque podemos usar a identidade trigonométrica para simplificar a expressão restante. Assim, reescrevemos a integral da seguinte forma:
Passo 3
Aplicando a Identidade Trigonométrica
Sabemos que
. Vamos substituir isso na integral:
Agora, distribuímos
:
Passo 4
Aplicando a Substituição
Vamos fazer a substituição
. Então, a derivada de
em relação a
é:
Substituindo na integral:
Passo 5
Calculando as Integrais Simples
Agora, integramos
e
:
Juntando os resultados:
Passo 6
Retornando para a Variável Original
Lembrando que
, substituímos de volta:
Resposta
A integral de
é:
Onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Investigue a continuidade nos pontos indicados:
em
.
Resolva o limite a seguir:
Calcule as integrais.
.
Mostre através do Teorema de L