Calcule as integrais. .

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse é um problema de cálculo que envolve integração de funções racionais, ou seja, frações onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver, vamos usar a técnica de frações parciais, que é super útil quando a função a ser integrada pode ser decomposta em parcelas mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no denominador da fração: . Nosso objetivo é fatorar esse polinômio, ou seja, escrevê-lo como produto de dois binômios. Para isso, precisamos encontrar dois números que multiplicados dão -15 e somados dão -2.
Pensando bem, esses números são -5 e 3, porque:
Então, o denominador fatorado fica:

Passo 3

Agora que fatoramos o denominador, podemos escrever a fração original como uma soma de frações mais simples. A ideia das frações parciais é expressar como:
Aqui, A e B são constantes que precisamos encontrar. Para descobrir esses valores, vamos multiplicar ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:
Agora, expandimos e agrupamos os termos:
Igualando os coeficientes dos termos correspondentes:
  1. Coeficiente de :
  2. Termo constante:
Agora, temos um sistema de equações que podemos resolver:
Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação, podemos expressar em termos de :
Substituindo na segunda equação:
Agora, substituímos na equação :
Então, os valores são e .

Passo 4

Com os valores de e encontrados, podemos reescrever a fração original:
Simplificando um pouco mais:
Agora, nossa integral fica:

Passo 5

Vamos integrar cada termo separadamente. Lembrando que:
onde é a constante de integração.
Aplicando isso aos nossos termos:
  1. Para :
  2. Para :

Resposta

Juntando tudo, a integral é:
onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Calcule as integrais. .
Investigue a continuidade nos pontos indicados:
em .
Mostre através do Teorema de L
Calcule as integrais. .