Calcule as integrais.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Esse é um problema de cálculo que envolve integração de funções racionais, ou seja, frações onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver, vamos usar a técnica de frações parciais, que é super útil quando a função a ser integrada pode ser decomposta em parcelas mais simples.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no denominador da fração:
. Nosso objetivo é fatorar esse polinômio, ou seja, escrevê-lo como produto de dois binômios. Para isso, precisamos encontrar dois números que multiplicados dão -15 e somados dão -2.
Pensando bem, esses números são -5 e 3, porque:
Então, o denominador fatorado fica:
Passo 3
Agora que fatoramos o denominador, podemos escrever a fração original como uma soma de frações mais simples. A ideia das frações parciais é expressar
como:
Aqui, A e B são constantes que precisamos encontrar. Para descobrir esses valores, vamos multiplicar ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores:
Agora, expandimos e agrupamos os termos:
Igualando os coeficientes dos termos correspondentes:
- Coeficiente de
: - Termo constante:
Agora, temos um sistema de equações que podemos resolver:
Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação, podemos expressar
em termos de
:
Substituindo na segunda equação:
Agora, substituímos
na equação
:
Então, os valores são
e
.
Passo 4
Com os valores de
e
encontrados, podemos reescrever a fração original:
Simplificando um pouco mais:
Agora, nossa integral fica:
Passo 5
Vamos integrar cada termo separadamente. Lembrando que:
onde
é a constante de integração.
Aplicando isso aos nossos termos:
-
Para
: -
Para
:
Resposta
Juntando tudo, a integral é:
onde
é a constante de integração.
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Calcule as integrais.
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Investigue a continuidade nos pontos indicados:
em
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Mostre através do Teorema de L
Calcule as integrais.
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