Calcule as integrais. integral x-3x^2-2 x-15 d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral x-3x^2-2 x-15 , dx. Esse é um problema de cálculo que envolve integração de funções racionais, ou seja, frações onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver, vamos usar a técnica de frações parciais, que é super útil quando a função a ser integrada pode ser decomposta em parcelas mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no denominador da fração: x^2 - 2x - 15. Nosso objetivo é fatorar esse polinômio, ou seja, escrevê-lo como produto de dois binômios. Para isso, precisamos encontrar dois números que multiplicados dão -15 e somados dão -2.
Pensando bem, esses números são -5 e 3, porque:
  • -5 times 3 = -15
  • -5 + 3 = -2
Então, o denominador fatorado fica:
x^2 - 2x - 15 = (x - 5)(x + 3)

Passo 3

Agora que fatoramos o denominador, podemos escrever a fração original como uma soma de frações mais simples. A ideia das frações parciais é expressar x-3(x - 5)(x + 3) como:
x - 3(x - 5)(x + 3) = Ax - 5 + Bx + 3
Aqui, A e B são constantes que precisamos encontrar. Para descobrir esses valores, vamos multiplicar ambos os lados da equação por (x - 5)(x + 3) para eliminar os denominadores:
x - 3 = A(x + 3) + B(x - 5)
Agora, expandimos e agrupamos os termos:
x - 3 = A x + 3A + B x - 5B x - 3 = (A + B)x + (3A - 5B)
Igualando os coeficientes dos termos correspondentes:
  1. Coeficiente de x: 1 = A + B
  2. Termo constante: -3 = 3A - 5B
Agora, temos um sistema de equações que podemos resolver:
  1. A + B = 1
  2. 3A - 5B = -3
Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação, podemos expressar A em termos de B:
A = 1 - B
Substituindo na segunda equação:
3(1 - B) - 5B = -3 3 - 3B - 5B = -3 3 - 8B = -3 -8B = -6 B = 68 = 34
Agora, substituímos B na equação A = 1 - B:
A = 1 - 34 = 14
Então, os valores são A = 14 e B = 34.

Passo 4

Com os valores de A e B encontrados, podemos reescrever a fração original:
x - 3(x - 5)(x + 3) = 14x - 5 + 34x + 3
Simplificando um pouco mais:
x - 3x^2 - 2x - 15 = 14 cdot 1x - 5 + 34 cdot 1x + 3
Agora, nossa integral fica:
integral x - 3x^2 - 2x - 15 , dx = integral ( 14 cdot 1x - 5 + 34 cdot 1x + 3 ) dx

Passo 5

Vamos integrar cada termo separadamente. Lembrando que:
integral 1x - a , dx = ln|x - a| + C
onde C é a constante de integração.
Aplicando isso aos nossos termos:
  1. Para 14 cdot 1x - 5:
    14 integral 1x - 5 , dx = 14 ln|x - 5|
  2. Para 34 cdot 1x + 3:
    34 integral 1x + 3 , dx = 34 ln|x + 3|

Resposta

Juntando tudo, a integral é:
integral x - 3x^2 - 2x - 15 , dx = 14 ln|x - 5| + 34 ln|x + 3| + C
onde C é a constante de integração.

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