Resolva o limite a seguir:
lim x infty(x+1x)^x+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para encontrar o limite de quando tende ao infinito. Aqui estamos lidando com funções exponenciais e limites no cálculo. Para resolver isso, vamos precisar entender como manipular expressões que se aproximam de uma certa forma conhecida, especialmente aquelas relacionadas ao número .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do limite. Observe que:
x+1x = 1 + 1x
Então, podemos reescrever o limite da seguinte maneira:
limx to infty (1 + 1x)^x+1

Passo 3

Agora, vamos separar o expoente (1 + 1x)^x cdot (1 + 1x)^1 em duas partes: limx to infty (1 + 1x)^x cdot limx to infty (1 + 1x) e . Assim, a expressão fica:
Isso significa que podemos escrever o limite como o produto de dois limites:

Passo 4

Vamos analisar cada parte separadamente. O primeiro limite:
limx to infty (1 + 1x)^x
Esse limite é uma forma conhecida que define o número limx to infty (1 + 1x)^x = e , que é aproximadamente 2,71828. Ou seja:

Passo 5

O segundo limite é mais simples:
limx to infty (1 + 1x) = 1 + 0 = 1
Quando tende ao infinito, tende a zero, então a expressão dentro do limite se aproxima de 1.

Passo 6

Agora, multiplicamos os resultados dos dois limites:
e cdot 1 = e

Resposta

O limite é igual a .

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