Resolva o limite a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para encontrar o limite de
quando
tende ao infinito. Aqui estamos lidando com funções exponenciais e limites no cálculo. Para resolver isso, vamos precisar entender como manipular expressões que se aproximam de uma certa forma conhecida, especialmente aquelas relacionadas ao número
.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do limite. Observe que:
Então, podemos reescrever o limite da seguinte maneira:
Passo 3
Agora, vamos separar o expoente
em duas partes:
e
. Assim, a expressão fica:
Isso significa que podemos escrever o limite como o produto de dois limites:
Passo 4
Vamos analisar cada parte separadamente. O primeiro limite:
Esse limite é uma forma conhecida que define o número
, que é aproximadamente 2,71828. Ou seja:
Passo 5
O segundo limite é mais simples:
Quando
tende ao infinito,
tende a zero, então a expressão dentro do limite se aproxima de 1.
Passo 6
Agora, multiplicamos os resultados dos dois limites:
Resposta
O limite é igual a
.
Exercícios relacionados
Encontre os pontos
, caso existam, nos quais
é descontínua e dê as razões para esta possível descontinuidade:
Sabendo-se que
e que
, calcule:
Investigue a continuidade nos pontos indicados:
em
.
Calcule as integrais.
.