Resolva o limite a seguir:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para encontrar o limite de quando tende ao infinito. Aqui estamos lidando com funções exponenciais e limites no cálculo. Para resolver isso, vamos precisar entender como manipular expressões que se aproximam de uma certa forma conhecida, especialmente aquelas relacionadas ao número .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do limite. Observe que:
Então, podemos reescrever o limite da seguinte maneira:

Passo 3

Agora, vamos separar o expoente em duas partes: e . Assim, a expressão fica:
Isso significa que podemos escrever o limite como o produto de dois limites:

Passo 4

Vamos analisar cada parte separadamente. O primeiro limite:
Esse limite é uma forma conhecida que define o número , que é aproximadamente 2,71828. Ou seja:

Passo 5

O segundo limite é mais simples:
Quando tende ao infinito, tende a zero, então a expressão dentro do limite se aproxima de 1.

Passo 6

Agora, multiplicamos os resultados dos dois limites:

Resposta

O limite é igual a .

Exercícios relacionados

Encontre os pontos , caso existam, nos quais é descontínua e dê as razões para esta possível descontinuidade:
Sabendo-se que e que , calcule:
Investigue a continuidade nos pontos indicados:
em .
Calcule as integrais. .