Calcule as integrais. .

Passo 1

Vamos calcular a integral . Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar utilizar identidades trigonométricas que nos ajudem a simplificar a expressão antes de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão . Sabemos que pode ser escrita como . Então temos:

Passo 3

Vamos usar a identidade trigonométrica para substituir :

Passo 4

Agora, expandimos :
Portanto, a expressão fica:

Passo 5

Agora, vamos integrar termo a termo:

Passo 6

Para integrar potências pares de seno, utilizamos a identidade . Porém, uma maneira mais simples é usar a identidade de redução:
Aplicando isso a cada termo:

Passo 7

Resolvendo cada integral separadamente:
  1. Para :
  1. Para :
Expandindo:
Usando :
Integrando cada termo:
  1. Para :
Expandindo e integrando de forma semelhante, resultando em uma combinação de termos envolvendo , e .

Passo 8

Após integrar cada termo e simplificar, somamos todas as partes:
Simplificando os termos:
Combinação dos termos semelhantes resulta em:

Resposta

A integral vale , onde é a constante de integração.

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Mostre através do Teorema de L
Calcule as integrais. .
Calcule as integrais. .
Calcule os limites: .