Calcule as integrais. integral sen^2(x) cos ^4(x) d x.

Passo 1

Vamos calcular a integral . Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar utilizar identidades trigonométricas que nos ajudem a simplificar a expressão antes de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão sin^2(x) cos^4(x) = sin^2(x) (cos^2(x))^2 . Sabemos que pode ser escrita como . Então temos:

Passo 3

Vamos usar a identidade trigonométrica sin^2(x) (cos^2(x))^2 = sin^2(x) (1 - sin^2(x))^2 para substituir :

Passo 4

Agora, expandimos (1 - sin^2(x))^2 = 1 - 2sin^2(x) + sin^4(x) :
sin^2(x) (1 - 2sin^2(x) + sin^4(x)) = sin^2(x) - 2sin^4(x) + sin^6(x)
Portanto, a expressão fica:

Passo 5

Agora, vamos integrar termo a termo:
integral sin^2(x) cos^4(x) , dx = integral sin^2(x) , dx - 2integral sin^4(x) , dx + integral sin^6(x) , dx

Passo 6

Para integrar potências pares de seno, utilizamos a identidade sin^2(x) = 1 - cos(2x)2 . Porém, uma maneira mais simples é usar a identidade de redução:
integral sin^2(x) , dx = integral 1 - cos(2x)2 , dx
Aplicando isso a cada termo:
integral sin^4(x) , dx = integral (1 - cos(2x)2)^2 , dx
integral sin^6(x) , dx = integral (1 - cos(2x)2)^3 , dx

Passo 7

Resolvendo cada integral separadamente:
  1. Para 12 integral 1 , dx - 12 integral cos(2x) , dx = x2 - sin(2x)4 + C :
14 integral 1 - 2cos(2x) + cos^2(2x) , dx
  1. Para 14 ( integral 1 , dx - 2integral cos(2x) , dx + 12 integral 1 + cos(4x) , dx ) :
Expandindo:
14 ( x - sin(2x) + x2 + sin(4x)8 ) + C
Usando :
Integrando cada termo:
  1. Para :
Expandindo e integrando de forma semelhante, resultando em uma combinação de termos envolvendo , e .

Passo 8

Após integrar cada termo e simplificar, somamos todas as partes:
integral sin^2(x) cos^4(x) , dx = x2 - sin(2x)4 - 2( 3x8 - sin(2x)4 + sin(4x)32 ) + ( 5x16 - 3sin(2x)16 + sin(4x)64 ) + C
Simplificando os termos:
x2 - sin(2x)4 - 3x4 + sin(2x)2 - sin(4x)16 + 5x16 - 3sin(2x)16 + sin(4x)64 + C
Combinação dos termos semelhantes resulta em:
x16 + sin(2x)16 - sin(4x)64 + C

Resposta

A integral vale , onde é a constante de integração.

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