Calcule as integrais.
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Passo 1
Vamos calcular a integral
. Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar utilizar identidades trigonométricas que nos ajudem a simplificar a expressão antes de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão
. Sabemos que
pode ser escrita como
. Então temos:
Passo 3
Vamos usar a identidade trigonométrica
para substituir
:
Passo 4
Agora, expandimos
:
Portanto, a expressão fica:
Passo 5
Agora, vamos integrar termo a termo:
Passo 6
Para integrar potências pares de seno, utilizamos a identidade
. Porém, uma maneira mais simples é usar a identidade de redução:
Aplicando isso a cada termo:
Passo 7
Resolvendo cada integral separadamente:
- Para
:
- Para
:
Expandindo:
Usando
:
Integrando cada termo:
- Para
:
Expandindo e integrando de forma semelhante, resultando em uma combinação de termos envolvendo
,
e
.
Passo 8
Após integrar cada termo e simplificar, somamos todas as partes:
Simplificando os termos:
Combinação dos termos semelhantes resulta em:
Resposta
A integral vale
, onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Mostre através do Teorema de L
Calcule as integrais.
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Calcule as integrais.
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Calcule os limites:
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