Calcule os limites: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício está dentro do conteúdo de limites no cálculo, especificamente analisando o comportamento de funções exponenciais em comparação com funções polinomiais quando cresce para o infinito. Para resolver, vamos precisar entender como diferentes tipos de funções crescem à medida que aumenta muito.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar como o numerador e o denominador se comportam conforme tende ao infinito. O numerador é , que é uma função exponencial. O denominador é , que é uma função polinomial de grau 200.

Passo 3

É importante saber que, geralmente, funções exponenciais crescem muito mais rápido do que funções polinomiais conforme aumenta. Isso significa que, para valores muito grandes de , será muito maior do que .

Passo 4

Para formalizar isso, podemos usar a regra de L’Hôpital, que é aplicada quando temos indeterminações do tipo . Vamos aplicar a regra repetidamente até simplificar o limite.

Passo 5

Aplicando a regra de L’Hôpital, derivamos o numerador e o denominador:
Vemos que a função exponencial ainda está no numerador, e o denominador agora é .

Passo 6

Repetindo a aplicação da regra de L’Hôpital 200 vezes, sempre derivando o numerador que permanece e o denominador que reduz o grau do polinômio em 1 a cada derivação.

Passo 7

Após 200 aplicações, o denominador será uma constante, e o numerador continuará sendo multiplicado por . Assim, o limite resultante será infinito.

Resposta

O limite .

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