Calcule os limites:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
. Esse exercício está dentro do conteúdo de limites no cálculo, especificamente analisando o comportamento de funções exponenciais em comparação com funções polinomiais quando
cresce para o infinito. Para resolver, vamos precisar entender como diferentes tipos de funções crescem à medida que
aumenta muito.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar como o numerador e o denominador se comportam conforme
tende ao infinito. O numerador é
, que é uma função exponencial. O denominador é
, que é uma função polinomial de grau 200.
Passo 3
É importante saber que, geralmente, funções exponenciais crescem muito mais rápido do que funções polinomiais conforme
aumenta. Isso significa que, para valores muito grandes de
,
será muito maior do que
.
Passo 4
Para formalizar isso, podemos usar a regra de L’Hôpital, que é aplicada quando temos indeterminações do tipo
. Vamos aplicar a regra repetidamente até simplificar o limite.
Passo 5
Aplicando a regra de L’Hôpital, derivamos o numerador e o denominador:
Vemos que a função exponencial ainda está no numerador, e o denominador agora é
.
Passo 6
Repetindo a aplicação da regra de L’Hôpital 200 vezes, sempre derivando o numerador que permanece
e o denominador que reduz o grau do polinômio em 1 a cada derivação.
Passo 7
Após 200 aplicações, o denominador será uma constante, e o numerador continuará sendo
multiplicado por
. Assim, o limite resultante será infinito.
Resposta
O limite
.
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