Calcule as integrais integral triplaR x^2 y cos (x y z) d V onde R=(x, y, z) in R^3 mid 0 <= x <= pi / 4,0 <= y <= 1,1 <= z <= 3

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla: , onde a região é definida por , e . A matéria aqui envolve cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais triplas. Vamos precisar usar integração iterada e algumas técnicas de integração, como integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a integral pela ordem integral0^pi4 integral0^1 integral1^3 x^2 y cos(x y z) , dz , dy , dx , e . Assim, nossa integral fica:
Vamos começar integrando em relação a .

Passo 3

Para integrar em relação a integral1^3 x^2 y cos(x y z) , dz , tratamos x^2 y cdot sin(x y z)x y |1^3 = x y [ sin(3 x y) - sin(x y) ] e como constantes:
A integral de em relação a é , onde . Então:

Passo 4

Agora, substituímos o resultado na integral original, ficando:
integral0^pi4 integral0^1 x y [ sin(3 x y) - sin(x y) ] , dy , dx
Vamos integrar em relação a x integral0^1 y sin(3 x y) , dy - x integral0^1 y sin(x y) , dy agora. Podemos distribuir :
Para integrar , usamos integração por partes, onde e .

Passo 5

Aplicando integração por partes:
integral y sin(k y) , dy = -y cos(k y)k + sin(k y)k^2
Aplicando de - y cos(3 x y)3 x |0^1 + sin(3 x y)9 x^2 |0^1 - ( - y cos(x y)x |0^1 + sin(x y)x^2 |0^1 ) a , para os dois termos:
Simplificando e substituindo os limites, obtemos expressões em termos de e .

Resposta

Após integrar e simplificar, a integral tripla é igual a:
pi4 ( sin(3pi4) - sin(pi4)3 - sin(pi4) - sin(0)1 )
Simplificando os valores de seno:
pi4 ( sin(3pi4) - sin(pi4)3 - sin(pi4) )
Calculando os valores numéricos dos senos:
pi4 ( raiz22 - raiz223 - raiz22 ) = pi4 ( 0 - raiz22 ) = -pi raiz28
Então, a resposta final é:
-pi raiz28

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