Beleza, vamos resolver essa integral tripla: , onde a região é definida por , e . A matéria aqui envolve cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais triplas. Vamos precisar usar integração iterada e algumas técnicas de integração, como integração por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a integral pela ordem , e . Assim, nossa integral fica:
Vamos começar integrando em relação a .
Passo 3
Para integrar em relação a , tratamos e como constantes:
A integral de em relação a é , onde . Então:
Passo 4
Agora, substituímos o resultado na integral original, ficando:
integral0^pi4 integral0^1 x y [ sin(3 x y) - sin(x y) ] , dy , dx
Vamos integrar em relação a x integral0^1 y sin(3 x y) , dy - x integral0^1 y sin(x y) , dy agora. Podemos distribuir :
Para integrar , usamos integração por partes, onde e .
Passo 5
Aplicando integração por partes:
integral y sin(k y) , dy = -y cos(k y)k + sin(k y)k^2
Aplicando de - y cos(3 x y)3 x |0^1 + sin(3 x y)9 x^2 |0^1 - ( - y cos(x y)x |0^1 + sin(x y)x^2 |0^1 ) a , para os dois termos:
Simplificando e substituindo os limites, obtemos expressões em termos de e .
Resposta
Após integrar e simplificar, a integral tripla é igual a: