Encontre o volume do sólido
limitado pelo cilíndro
, o plano
e o cone
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender qual é o desafio aqui. A gente precisa encontrar o volume do sólido
que está limitado por três superfícies:
- Um cilindro dado por
. - O plano
, que é basicamente o chão. - Um cone descrito por
.
Vamos usar cálculo integral, especificamente coordenadas cilíndricas, para resolver esse problema, já que as equações envolvem círculos e cones, o que fica mais fácil de lidar nesse sistema de coordenadas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação do cilindro
. Para facilitar, completa-se o quadrado:
Isso mostra que o cilindro é um círculo no plano
com centro em
e raio
.
Passo 3
Agora, vamos passar para as coordenadas cilíndricas, que são ótimas para esse tipo de problema. Nas coordenadas cilíndricas,
,
, e
.
A equação do cilindro fica:
Simplificando:
Como
é apenas o ponto central, descartamos essa solução, então
.
Passo 4
O cone é dado por
, que em coordenadas cilíndricas é
.
O plano
é simplesmente a base do sólido.
Então, o sólido
está entre
e
, e dentro do cilindro
.
Passo 5
Vamos determinar os limites de integração. O raio
varia de 0 a
. O ângulo
precisa cobrir todo o círculo do cilindro.
Como
é válida para
, mas como o cilindro está centrado em
, na verdade,
varia de 0 a
. No entanto, devido à simetria, podemos integrar de 0 a
e ajustar conforme necessário.
Passo 6
A expressão para o volume em coordenadas cilíndricas é:
Vamos resolver a integral em ordem: primeiro
, depois
, e por fim
.
Passo 7
Integrando em relação a
:
Então o volume fica:
Passo 8
Integrando em relação a
:
Então o volume fica:
Passo 9
Agora, integrando em relação a
:
Sabemos que:
Aplicando os limites e simplificando:
Passo 10
Finalmente, aplicando os limites de
de 0 a
:
Sabendo que
e
, ambos os termos se anulam, o que indica que precisamos ajustar os limites ou a abordagem.
Passo 11
Na verdade, como o cilindro está centrado em
, o intervalo correto para
é de
a
.
Refazendo a integral:
Sabemos que:
Então:
Resposta
O volume do sólido
é
unidades cúbicas.