Encontre o volume do sólido W limitado pelo cilíndro x^2 - x + y^2 = 0, o plano z = 0 e o cone z = raiz(x^2 + y^2).

Passo 1

Primeiro, vamos entender qual é o desafio aqui. A gente precisa encontrar o volume do sólido que está limitado por três superfícies:
  1. Um cilindro dado por .
  2. O plano , que é basicamente o chão.
  3. Um cone descrito por .
Vamos usar cálculo integral, especificamente coordenadas cilíndricas, para resolver esse problema, já que as equações envolvem círculos e cones, o que fica mais fácil de lidar nesse sistema de coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação do cilindro . Para facilitar, completa-se o quadrado:
Isso mostra que o cilindro é um círculo no plano com centro em e raio .

Passo 3

Agora, vamos passar para as coordenadas cilíndricas, que são ótimas para esse tipo de problema. Nas coordenadas cilíndricas, , , e .
A equação do cilindro fica:
Simplificando:
Como é apenas o ponto central, descartamos essa solução, então .

Passo 4

O cone é dado por , que em coordenadas cilíndricas é .
O plano é simplesmente a base do sólido.
Então, o sólido está entre e , e dentro do cilindro .

Passo 5

Vamos determinar os limites de integração. O raio varia de 0 a . O ângulo precisa cobrir todo o círculo do cilindro.
Como é válida para , mas como o cilindro está centrado em , na verdade, varia de 0 a . No entanto, devido à simetria, podemos integrar de 0 a e ajustar conforme necessário.

Passo 6

A expressão para o volume em coordenadas cilíndricas é:
Vamos resolver a integral em ordem: primeiro , depois , e por fim .

Passo 7

Integrando em relação a :
Então o volume fica:

Passo 8

Integrando em relação a :
Então o volume fica:

Passo 9

Agora, integrando em relação a :
Sabemos que:
Aplicando os limites e simplificando:

Passo 10

Finalmente, aplicando os limites de de 0 a :
Sabendo que e , ambos os termos se anulam, o que indica que precisamos ajustar os limites ou a abordagem.

Passo 11

Na verdade, como o cilindro está centrado em , o intervalo correto para é de a .
Refazendo a integral:
Sabemos que:
Então:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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