Calcule
, onde
é o sólido delimitado pelos cilíndros parabólicos
e
e os planos
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla
, onde
é o sólido delimitado pelos cilindros parabólicos
e
, e pelos planos
e
. Vamos usar conceitos de cálculo multivariável para definir os limites de integração e resolver passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a região
. Ela é limitada pelos cilindros parabólicos
e
. Para visualizar essa área no plano
, precisamos encontrar onde essas duas curvas se interceptam.
Passo 3
Vamos resolver o sistema
e
para encontrar os pontos de interseção:
Substituindo
na segunda equação:
Assim,
ou
. Correspondentemente,
ou
. Então, os pontos de interseção são
e
.
Passo 4
Agora, vamos determinar os limites de integração para
e
. Observando as curvas:
- Para
, -
varia de até (já que ).
Passo 5
Quanto a
, ele varia entre os planos
e
. Então, para cada ponto
na região definida,
vai de
a
.
Passo 6
Agora, podemos escrever a integral tripla com esses limites:
Passo 7
Começamos integrando em relação a
:
Então, a integral fica:
Passo 8
Agora, integramos em relação a
:
Simplificando:
Passo 9
Agora, integramos em relação a
:
Multiplicando os termos:
Integrando termo a termo:
Avaliando de 0 a 1:
Passo 10
Vamos calcular os valores:
Somando:
Então:
Resposta
O valor da integral tripla é
.