Calcule integral triplaE x y d V, onde E é o sólido delimitado pelos cilíndros parabólicos y=x^2 e x=y^2 e os planos
z=0 e z=x+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla , onde é o sólido delimitado pelos cilindros parabólicos e , e pelos planos e . Vamos usar conceitos de cálculo multivariável para definir os limites de integração e resolver passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a região . Ela é limitada pelos cilindros parabólicos e . Para visualizar essa área no plano , precisamos encontrar onde essas duas curvas se interceptam.

Passo 3

Vamos resolver o sistema y = x^2 x = y^2 e x = (x^2)^2 implies x = x^4 x^4 - x = 0 implies x(x^3 - 1) = 0 para encontrar os pontos de interseção:
Substituindo na segunda equação:
Assim, ou . Correspondentemente, ou . Então, os pontos de interseção são e .

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites de integração para e . Observando as curvas:
  • Para ,
  • varia de até (já que ).

Passo 5

Quanto a , ele varia entre os planos e . Então, para cada ponto na região definida, vai de a .

Passo 6

Agora, podemos escrever a integral tripla com esses limites:
integral triplaE x y , dV = integralx=0^1 integraly=x^2^raizx integralz=0^x+1 x y , dz , dy , dx

Passo 7

Começamos integrando em relação a integralz=0^x+1 x y , dz = x y cdot (x + 1 - 0) = x y (x + 1) :
integralx=0^1 integraly=x^2^raizx x y (x + 1) , dy , dx
Então, a integral fica:

Passo 8

Agora, integramos em relação a integraly=x^2^raizx x y (x + 1) , dy = x (x + 1) cdot [ y^22 ]x^2^raizx = x (x + 1) ( x2 - x^42 ) :
= x (x + 1) (x - x^4)2
Simplificando:

Passo 9

Agora, integramos em relação a 12 integral0^1 x (x + 1) (x - x^4) , dx = 12 integral0^1 (x^2 + x)(x - x^4) , dx :
= 12 integral0^1 (x^3 - x^6 + x^2 - x^5) , dx
Multiplicando os termos:
= 12 [ x^44 - x^77 + x^33 - x^66 ]0^1
Integrando termo a termo:
= 12 ( 14 - 17 + 13 - 16 )
Avaliando de 0 a 1:

Passo 10

Vamos calcular os valores:
14 - 17 = 7 - 428 = 328 13 - 16 = 2 - 16 = 16
Somando:
328 + 16 = 984 + 1484 = 2384
Então:
12 cdot 2384 = 23168

Resposta

O valor da integral tripla é .

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