Calcule as integrais integral triplaR y sin (x y) z^2 d V onde R=(x, y, z) in R^3 mid 1 <= x <= 3,0 <= y <= pi / 2,-2 <= z <= 3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral tripla , onde a região é definida por , e . Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais múltiplas, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração . Os limites de , e são todos constantes, o que significa que estamos lidando com uma região retangular no espaço tridimensional. Isso nos permite separar a integral em integrais simples para cada variável.

Passo 3

Vamos reescrever a integral tripla como um produto de integrais simples. A expressão dada é:
integral triplaR y sin(x y) z^2 , dV = integral1^3 integral0^pi2 integral-2^3 y sin(x y) z^2 , dz , dy , dx
Aqui, estamos integrando primeiro em relação a , depois a , e por último a .

Passo 4

Vamos resolver a integral interna em relação a integral-2^3 z^2 , dz :
integral z^2 , dz = z^33 + C
A integral de [ 3^33 ] - [ (-2)^33 ] = 273 - -83 = 9 + 83 = 353 em relação a é:
Agora, avaliamos de a :

Passo 5

Substituímos o resultado da integral de integral triplaR y sin(x y) z^2 , dV = 353 integral1^3 integral0^pi2 y sin(x y) , dy , dx de volta na expressão:
Agora, vamos focar na integral dupla restante.

Passo 6

Agora, vamos resolver a integral em relação a integral0^pi2 y sin(x y) , dy :
integral y sin(x y) , dy = -y cos(x y)x + 1x integral cos(x y) , dy
Para resolver essa integral, podemos usar a técnica de integração por partes, onde:
  • integral cos(x y) , dy = sin(x y)x -y cos(x y)x + sin(x y)x^2 + C
Aplicando a integração por partes:
Agora, integrando em relação a :
Então, a expressão fica:

Passo 7

Agora, avaliamos essa expressão de [ -pi2 cos(x cdot pi2)x + sin(x cdot pi2)x^2 ] - [ -0 cdot cos(0)x + sin(0)x^2 ] = -pi2 cos(pi x2)x + sin(pi x2)x^2 a :

Passo 8

Substituímos de volta na integral principal:
integral triplaR y sin(x y) z^2 , dV = 353 integral1^3 ( -pi2 cos(pi x2)x + sin(pi x2)x^2 ) , dx

Passo 9

Essa integral em relação a integral1^3 ( -pi2 cos(pi x2)x + sin(pi x2)x^2 ) , dx pode ser resolvida separadamente:
Essa integral pode ser resolvida utilizando métodos numéricos ou tabelas de integrais, pois a antiderivada exata envolve funções especiais.

Resposta

A integral tripla 353 integral1^3 ( -pi2 cos(pi x2)x + sin(pi x2)x^2 ) , dx é igual a:
Para obter o valor numérico final, recomenda-se o uso de ferramentas de cálculo numérico ou software apropriado.

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