Calcule as integrais
onde
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral tripla
, onde a região
é definida por
,
e
. Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais múltiplas, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração
. Os limites de
,
e
são todos constantes, o que significa que estamos lidando com uma região retangular no espaço tridimensional. Isso nos permite separar a integral em integrais simples para cada variável.
Passo 3
Vamos reescrever a integral tripla como um produto de integrais simples. A expressão dada é:
Aqui, estamos integrando primeiro em relação a
, depois a
, e por último a
.
Passo 4
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
A integral de
em relação a
é:
Agora, avaliamos de
a
:
Passo 5
Substituímos o resultado da integral de
de volta na expressão:
Agora, vamos focar na integral dupla restante.
Passo 6
Agora, vamos resolver a integral em relação a
:
Para resolver essa integral, podemos usar a técnica de integração por partes, onde:
Aplicando a integração por partes:
Agora, integrando
em relação a
:
Então, a expressão fica:
Passo 7
Agora, avaliamos essa expressão de
a
:
Passo 8
Substituímos de volta na integral principal:
Passo 9
Essa integral em relação a
pode ser resolvida separadamente:
Essa integral pode ser resolvida utilizando métodos numéricos ou tabelas de integrais, pois a antiderivada exata envolve funções especiais.
Resposta
A integral tripla
é igual a:
Para obter o valor numérico final, recomenda-se o uso de ferramentas de cálculo numérico ou software apropriado.