Considere a série infinita sumn=1^+infty 12^n+1+(-1)^n.
(a) Mostre que o Teste da razăo falha para essa série.
(b) Use o Teste da Raiz para determinar se a série é convergente ou divergente.
Observação: Esta questão vale 2.0 pontos ( 1.0 ponto cada item).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma série infinita dada por sumn=1^+infty 12^n+1+(-1)^n. Nosso objetivo aqui é, primeiro, mostrar que o Teste da Razão não funciona para determinar se essa série converge ou diverge. Depois, vamos usar o Teste da Raiz para ver se a série realmente converge ou não. Para isso, vamos precisar entender como esses testes funcionam e aplicá-los passo a passo.

Passo 2

(a) Teste da Razão
O Teste da Razão é uma ferramenta que ajuda a determinar a convergência de uma série examinando o limite do quociente entre termos consecutivos. A gente calcula limn to infty | an+1an |. Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge; se for igual a 1, o teste não funciona.
Vamos aplicar isso à nossa série:
Primeiro, identifiquemos an = 12^n+1+(-1)^n. Então,
.
Simplificando, vemos que o limite não tende a um número fixo, porque depende se an+1an = 2^n+1+(-1)^n2^(n+1)+1+(-1)^n+1 = 2^n+1+(-1)^n2^n+2+(-1)^n+1 = 2^(n+1+(-1)^n) - (n+2+(-1)^n+1) = 2^ -1 + (-1)^n + (-1)^n+1 é par ou ímpar. Portanto, o Teste da Razão não nos dá uma conclusão clara para essa série.

Passo 3

(b) Teste da Raiz
Agora, vamos para o Teste da Raiz, que é outro método para verificar a convergência. A gente calcula limn to infty raiz[n]|an|. Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge; e se for igual a 1, o teste não ajuda.
Aplicando ao nosso caso:
raiz[n]an = raiz[n]12^n+1+(-1)^n = 12^n+1+(-1)^nn = 12^1 + 1n + (-1)^nn.
Quando n tende ao infinito, 1n e (-1)^nn tendem a 0. Então,
limn to infty raiz[n]an = 12^1 + 0 + 0 = 12 < 1.
Como o limite é menor que 1, pelo Teste da Raiz, a série converge.

Resposta

(a) O Teste da Razão não conclui sobre a convergência da série.
(b) Pelo Teste da Raiz, a série é convergente.

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