Calcule as integrais: integral x^3 e^x^2(x^2+1)^2 dx

Passo 1

Entendendo o problema: Temos que calcular a integral . Vamos usar técnicas de cálculo integral, especificamente substituição, para resolver essa expressão. Precisaremos manipular a função exponencial e as potências de para simplificar a integração.

Passo 2

Observando a estrutura da integral: Notamos que no numerador temos e no denominador . A presença de sugere que uma substituição envolvendo pode ser útil.

Passo 3

Escolhendo a substituição: Vamos definir . Dessa forma, a derivada de em relação a é , ou seja, . Isso nos permite substituir partes da integral para simplificá-la.

Passo 4

Reescrevendo a integral com a substituição: Precisamos expressar a integral em termos de integral x^3 e^x^2(x^2+1)^2 , dx = integral x(u - 1) e^u - 1u^2 , dx . Primeiro, reescrevemos integral (u - 1) e^u - 12u^2 , du como . A integral fica:
Sabemos que , então . Substituindo isso na integral:

Passo 5

Simplificando a expressão: Podemos fatorar constantes e simplificar a expressão:
12 integral (u - 1) e^u - 1u^2 , du
Para facilitar a integração, reconhecemos que a derivada de está relacionada à nossa expressão.

Passo 6

Identificando a antiderivada: Observamos que:
ddu ( e^uu ) = e^u cdot u - e^uu^2 = (u - 1)e^uu^2
Isso significa que nossa integral é justamente a derivada inversa dessa função.

Passo 7

Finalizando a integração: Portanto,
12 integral (u - 1) e^uu^2 , du = 12 cdot e^uu + C
Substituindo 12 cdot e^x^2 + 1x^2 + 1 + C = e^x^22(x^2 + 1) + C de volta:

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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