Calcule as integrais:
Passo 1
Entendendo o problema: Temos que calcular a integral
. Vamos usar técnicas de cálculo integral, especificamente substituição, para resolver essa expressão. Precisaremos manipular a função exponencial e as potências de
para simplificar a integração.
Passo 2
Observando a estrutura da integral: Notamos que no numerador temos
e no denominador
. A presença de
sugere que uma substituição envolvendo
pode ser útil.
Passo 3
Escolhendo a substituição: Vamos definir
. Dessa forma, a derivada de
em relação a
é
, ou seja,
. Isso nos permite substituir partes da integral para simplificá-la.
Passo 4
Reescrevendo a integral com a substituição: Precisamos expressar a integral em termos de
. Primeiro, reescrevemos
como
. A integral fica:
Sabemos que
, então
. Substituindo isso na integral:
Passo 5
Simplificando a expressão: Podemos fatorar constantes e simplificar a expressão:
Para facilitar a integração, reconhecemos que a derivada de
está relacionada à nossa expressão.
Passo 6
Identificando a antiderivada: Observamos que:
Isso significa que nossa integral é justamente a derivada inversa dessa função.
Passo 7
Finalizando a integração: Portanto,
Substituindo
de volta:
Resposta
A integral é igual a
, onde
é a constante de integração.