Determine se a série sumn=1^infty n2^n seja absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente descobrir se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Isso envolve entender séries infinitas e critérios de convergência. Vamos precisar usar o Critério da Razão pra resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma série absolutamente convergente. Uma série é absolutamente convergente se a série dos valores absolutos dela também converge. Como todos os termos aqui são positivos, basta verificar a convergência da série original.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Critério da Razão, que é muito útil pra séries que envolvem potências de ou expoentes. O critério diz que se o limite do quociente entre o termo seguinte e o termo atual for menor que 1, a série converge.

Passo 4

Vamos calcular esse limite:
limn to infty | n+12^n+1n2^n | = limn to infty n+12n = limn to infty 1 + 1n2 = 12 < 1

Passo 5

Como o limite é , que é menor que 1, segundo o Critério da Razão, a série converge.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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