Calcule as integrais: integral arcos x d x

Passo 1

Vamos calcular a integral de arcos , x em relação a x. Esse exercício está relacionado ao conteúdo de cálculo integral, especificamente utilizando a técnica de integração por partes, que iremos precisar para resolver.

Passo 2

A integração por partes é uma técnica que utilizamos quando a integral é o produto de duas funções. A fórmula básica é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Nesse caso, vamos escolher:
u = arcos , x
e
dv = dx

Passo 3

Agora, precisamos encontrar du e v. Derivando u:
dudx = -1raiz1 - x^2
Portanto,
du = -1raiz1 - x^2 , dx
Integrando dv para encontrar v:
v = integral dx = x

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral arcos , x , dx = x cdot arcos , x - integral x cdot ( -1raiz1 - x^2 ) dx
Simplificando:
integral arcos , x , dx = x cdot arcos , x + integral xraiz1 - x^2 , dx

Passo 5

Agora, vamos resolver a nova integral:
integral xraiz1 - x^2 , dx
Fazendo a substituição:
t = 1 - x^2
Então,
dt = -2x , dx Rightarrow -dt2 = x , dx
Substituindo na integral:
integral xraiz1 - x^2 , dx = integral -dt/2raizt = -12 integral t^-1/2 , dt
A integral de t^-1/2 é 2raizt, então:
-12 cdot 2raizt = -raizt = -raiz1 - x^2

Resposta

Portanto, a integral de arcos , x é:
integral arcos , x , dx = x cdot arcos , x - raiz1 - x^2 + C
onde C é a constante de integração.

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