Calcule as integrais: integral (2 x+3) d xraiz9-8 x-x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: integral (2x+3) , dxraiz9 - 8x - x^2. Isso é uma integral que envolve funções racionais e radicais. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de substituição e completar o quadrado no denominador. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz para facilitar a integração. Observamos o denominador: 9 - 8x - x^2. Para completar o quadrado, vamos reescrever essa expressão de forma que possamos identificar um quadrado perfeito.

Passo 3

Vamos reorganizar os termos do denominador:
- x^2 - 8x + 9
Fatorando o sinal negativo:
- (x^2 + 8x - 9)
Agora, vamos completar o quadrado para a expressão x^2 + 8x.

Passo 4

Para completar o quadrado de x^2 + 8x, pegamos metade do coeficiente de x, que é 4, e elevamos ao quadrado, obtendo 16. Então:
x^2 + 8x + 16 - 16 - 9 = (x + 4)^2 - 25
Portanto, o denominador fica:
- [(x + 4)^2 - 25] = 25 - (x + 4)^2

Passo 5

Agora, a integral fica:
integral 2x + 3raiz25 - (x + 4)^2 , dx
Vamos fazer uma substituição para simplificar. Seja u = x + 4, então du = dx e x = u - 4.

Passo 6

Substituindo na integral:
integral 2(u - 4) + 3raiz25 - u^2 , du = integral 2u - 8 + 3raiz25 - u^2 , du = integral 2u - 5raiz25 - u^2 , du
Agora, separamos a integral em duas partes:
2 integral uraiz25 - u^2 , du - 5 integral 1raiz25 - u^2 , du

Passo 7

Resolvendo cada integral separadamente:
  1. Para integral uraiz25 - u^2 , du, fazemos a substituição v = 25 - u^2, então dv = -2u , du ou - 12 dv = u , du. A integral vira:
- 12 integral 1raizv , dv = - 12 cdot 2 raizv = - raiz25 - u^2
  1. Para integral 1raiz25 - u^2 , du, sabemos que a integral é arcsin( u5 ).

Passo 8

Agora, juntando os resultados:
2 ( - raiz25 - u^2 ) - 5 arcsin( u5 ) + C = -2 raiz25 - u^2 - 5 arcsin( u5 ) + C
Lembrando que u = x + 4, substituímos de volta:
-2 raiz25 - (x + 4)^2 - 5 arcsin( x + 45 ) + C

Resposta

A integral é igual a:
-2 raiz25 - (x + 4)^2 - 5 arcsin( x + 45 ) + C

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