Calcule as integrais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral:
. Isso é uma integral que envolve funções racionais e radicais. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de substituição e completar o quadrado no denominador. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz para facilitar a integração. Observamos o denominador:
. Para completar o quadrado, vamos reescrever essa expressão de forma que possamos identificar um quadrado perfeito.
Passo 3
Vamos reorganizar os termos do denominador:
Fatorando o sinal negativo:
Agora, vamos completar o quadrado para a expressão
.
Passo 4
Para completar o quadrado de
, pegamos metade do coeficiente de
, que é
, e elevamos ao quadrado, obtendo
. Então:
Portanto, o denominador fica:
Passo 5
Agora, a integral fica:
Vamos fazer uma substituição para simplificar. Seja
, então
e
.
Passo 6
Substituindo na integral:
Agora, separamos a integral em duas partes:
Passo 7
Resolvendo cada integral separadamente:
- Para
, fazemos a substituição , então ou . A integral vira:
- Para
, sabemos que a integral é .
Passo 8
Agora, juntando os resultados:
Lembrando que
, substituímos de volta:
Resposta
A integral é igual a: