Calcule as integrais: integral x^2+1x^2+4 x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de x^2+1x^2+4x^2 , dx. Isso está relacionado ao conteúdo de Cálculo Integral, especificamente sobre integração de funções racionais. Vamos precisar simplificar a expressão antes de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador da fração: x^2 + 4x^2 = 5x^2. Então, a integral fica:
integral x^2 + 15x^2 , dx

Passo 3

Agora, podemos separar a fração:
integral ( x^25x^2 + 15x^2 ) , dx = integral ( 15 + 15x^2 ) , dx

Passo 4

Vamos integrar termo por termo. Sabemos que:
  • A integral de uma constante a em relação a x é a x.
  • A integral de x^n é x^n+1n+1, desde que n neq -1.
Aplicando isso:
integral 15 , dx = 15 x
E
integral 15x^2 , dx = 15 integral x^-2 , dx = 15 ( x^-1-1 ) = -15x

Resposta

Portanto, a integral é:
x5 - 15x + C
Onde C é a constante de integração.

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