Resolver o sistema linear pelo método de eliminação de Gauss (método direto): .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um sistema de equações lineares com quatro variáveis: e . O conteúdo que vamos utilizar é o método de eliminação de Gauss, que nos ajuda a resolver sistemas lineares de forma organizada. Para isso, precisamos organizar as equações em uma matriz aumentada e realizar operações para chegar à solução.
Passo 2
Vamos escrever o sistema na forma de matriz aumentada. Isso facilita a aplicação do método de eliminação de Gauss.
Passo 3
O objetivo agora é transformar essa matriz em uma forma triangular superior, onde abaixo da diagonal principal temos apenas zeros. Vamos começar eliminando o das equações 2, 3 e 4.
Para eliminar o da segunda equação, subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda linha:
Passo 4
Agora, vamos eliminar o da terceira equação. Subtraímos 3 vezes a primeira linha da terceira linha:
Passo 5
Em seguida, eliminamos o da quarta equação. Adicionamos a primeira linha à quarta linha:
Passo 6
Agora, vamos focar na segunda coluna para eliminar os coeficientes abaixo do pivô. O pivô da segunda coluna é -1 na segunda linha.
Vamos usar a segunda linha para eliminar o da terceira e quarta linhas.
Primeiro, eliminamos o da terceira linha. Para isso, adicionamos 4 vezes a segunda linha à terceira linha:
Passo 7
Agora, eliminamos o da quarta linha. Para isso, adicionamos 3 vezes a segunda linha à quarta linha:
Passo 8
Agora que a matriz está em forma triangular superior, podemos resolver o sistema por substituição retroativa. A partir da última equação, podemos encontrar :
Passo 9
Voltando para a terceira equação:
Substituímos :
Passo 10
Agora, voltamos para a segunda equação:
Substituímos e :
Multiplicando tudo por 5 para eliminar as frações:
Passo 11
Por fim, usamos a primeira equação para encontrar :