Resolva a equação diferencial dada por Cauchy-Euler:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial do tipo Cauchy-Euler:
. Esse tipo de equação é bacana porque tem coeficientes que são potências de
. Para resolver, vamos precisar assumir uma solução na forma de uma potência de
e encontrar os valores que fazem tudo funcionar.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução tem a forma
, onde
é um número que a gente vai descobrir. Com isso, precisamos calcular as primeiras e segundas derivadas de
:
Passo 3
Agora, substituímos
,
e
na equação original:
Simplificando cada termo:
Passo 4
Como todos os termos têm
, podemos fatorar isso e dividir por
(desde que
):
Isso simplifica para:
Passo 5
Vamos resolver essa equação quadrática para
. Usando a fórmula de Bhaskara:
Tivemos uma raiz dupla, ou seja,
com multiplicidade 2.
Passo 6
Como a raiz se repete, a solução geral da equação diferencial inclui um termo com logaritmo. Assim, a solução é:
Resposta
Exercícios relacionados
Encontre a solução geral para cada equação diferencial:
Resolva a equação diferencial dada por Cauchy-Euler:
Calcule as integrais:
Resolver o sistema linear pelo método de eliminação de Gauss (método direto):
.