Resolva a equação diferencial dada por Cauchy-Euler:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial do tipo Cauchy-Euler: . Esse tipo de equação é bacana porque tem coeficientes que são potências de . Para resolver, vamos precisar assumir uma solução na forma de uma potência de e encontrar os valores que fazem tudo funcionar.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução tem a forma , onde é um número que a gente vai descobrir. Com isso, precisamos calcular as primeiras e segundas derivadas de :

Passo 3

Agora, substituímos , e na equação original:
Simplificando cada termo:

Passo 4

Como todos os termos têm , podemos fatorar isso e dividir por (desde que ):
Isso simplifica para:

Passo 5

Vamos resolver essa equação quadrática para . Usando a fórmula de Bhaskara:
Tivemos uma raiz dupla, ou seja, com multiplicidade 2.

Passo 6

Como a raiz se repete, a solução geral da equação diferencial inclui um termo com logaritmo. Assim, a solução é:

Resposta

Exercícios relacionados

Encontre a solução geral para cada equação diferencial:
Resolva a equação diferencial dada por Cauchy-Euler:
Calcule as integrais:
Resolver o sistema linear pelo método de eliminação de Gauss (método direto):



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