Calcule as Integrais
d) I=integral d x4+5 cos x
R.: 13 ln |tg x2+3tg x2-3|+c

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral . Esse tipo de integral envolve funções trigonométricas no denominador. Para resolver, vamos precisar usar uma técnica chamada “substituição trigonométrica”, que nos ajuda a transformar a integral em uma forma mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função cosseno pode ser escrita em termos de tangente da metade do ângulo. Usamos a identidade trigonométrica:
cos x = 1 - tan^2 x21 + tan^2 x2
Vamos fazer a substituição dx = 2 , dt1 + t^2 . Dessa forma, pode ser expresso em termos de :

Passo 3

Substituindo I = integral 2 , dt1 + t^24 + 5 ( 1 - t^21 + t^2 ) e 4 + 5 ( 1 - t^21 + t^2 ) = 4(1 + t^2) + 5(1 - t^2)1 + t^2 = 4 + 4t^2 + 5 - 5t^21 + t^2 = 9 - t^21 + t^2 na integral original, temos:
Vamos simplificar o denominador:

Passo 4

Agora, substituímos de volta na integral:
I = integral 2 , dt1 + t^29 - t^21 + t^2 = integral 2 , dt9 - t^2
Essa integral é do tipo , cuja solução é conhecida.

Passo 5

Sabemos que:
integral dta^2 - t^2 = 12a ln | a + ta - t | + C
No nosso caso, I = 2 cdot 12 cdot 3 ln | 3 + t3 - t | + C = 13 ln | 3 + t3 - t | + C então . Aplicando isso:

Passo 6

Lembrando que I = 13 ln | 3 + tan x23 - tan x2 | + C , substituímos de volta:

Resposta

I = 13 ln | tan x2 + 3tan x2 - 3 | + C

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