Calcule as Integrais
g) I=integral 1+cos x1-sen x d x
R.: -2 ln |tg x2-1|-2tg x2-1+ln |tg^2 x2+1|+c

Passo 1

Vamos calcular a integral . Esse exercício pertence ao conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente à técnica de substituição em integrais que envolvem funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar simplificar a expressão e utilizar substituições trigonométricas apropriadas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração 1 + cos x1 - sin x times 1 + sin x1 + sin x = (1 + cos x)(1 + sin x)1 - sin^2 x . Para facilitar, podemos multiplicar o numerador e o denominador por (1 + cos x)(1 + sin x)cos^2 x , que é o conjugado do denominador:
Sabemos que , então a expressão fica:

Passo 3

Agora, vamos utilizar a substituição trigonométrica sin x = 2t1 + t^2, cos x = 1 - t^21 + t^2, dx = 2,dt1 + t^2 . Com essa substituição, temos as seguintes identidades:

Passo 4

Substituindo essas identidades na integral, obtemos:
I = integral 1 + 1 - t^21 + t^21 - 2t1 + t^2 times 2,dt1 + t^2
Simplificando o numerador e o denominador:
1 + 1 - t^21 + t^2 = 21 + t^2, 1 - 2t1 + t^2 = 1 - t1 + t^2

Passo 5

Substituindo de volta na integral:
I = integral 21 + t^21 - t1 + t^2 times 21 + t^2 , dt = integral 21 - t times 21 + t^2 , dt = integral 4(1 - t)(1 + t^2) , dt

Passo 6

Para resolver essa integral, vamos decompor a fração em frações parciais:
4(1 - t)(1 + t^2) = A1 - t + Bt + C1 + t^2
Resolvendo para A = 2, B = 0, C = 2 , 4(1 - t)(1 + t^2) = 21 - t + 21 + t^2 e , encontramos:
Portanto:

Passo 7

Agora, a integral fica dividida em duas partes mais simples:
I = integral 21 - t , dt + integral 21 + t^2 , dt
Calculando cada integral:
integral 21 - t , dt = -2 ln|1 - t| + C1
integral 21 + t^2 , dt = 2 tan^-1(t) + C2
Juntando as constantes I = -2 ln|1 - t| + 2 tan^-1(t) + C e em , temos:

Passo 8

Agora, substituímos I = -2 ln|1 - tan(x2)| + 2 tan^-1(tan(x2)) + C de volta na expressão:
I = -2 ln|tan(x2) - 1| + x + C
Simplificando, sabemos que , então:

Resposta

A integral I = -2 ln|tanx2 - 1| - 2tanx2 - 1 + ln|tan^2x2 + 1| + C é igual a:

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