Vamos calcular a integral . Esse exercício pertence ao conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente à técnica de substituição em integrais que envolvem funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar simplificar a expressão e utilizar substituições trigonométricas apropriadas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a fração 1 + cos x1 - sin x times 1 + sin x1 + sin x = (1 + cos x)(1 + sin x)1 - sin^2 x . Para facilitar, podemos multiplicar o numerador e o denominador por (1 + cos x)(1 + sin x)cos^2 x , que é o conjugado do denominador:
Sabemos que , então a expressão fica:
Passo 3
Agora, vamos utilizar a substituição trigonométrica sin x = 2t1 + t^2, cos x = 1 - t^21 + t^2, dx = 2,dt1 + t^2 . Com essa substituição, temos as seguintes identidades:
Passo 4
Substituindo essas identidades na integral, obtemos:
I = integral 1 + 1 - t^21 + t^21 - 2t1 + t^2 times 2,dt1 + t^2