Calcule as Integrais
c) I=integral 2 d xsen x+tg x
R.: ln |tg x2|-12 tg^2 x2+c

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral . Esse exercício envolve integração de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar identidades trigonométricas e técnicas de substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador . Lembrando que , podemos escrever:

Passo 3

Agora, substituindo de volta na integral:

Passo 4

Vamos simplificar a fração:
Agora, vamos usar a substituição 2 cos xsen x (cos x + 1) = 2sen x cdot cos xcos x + 1 . Sabemos que:
sen x = 2t1 + t^2 e cos x = 1 - t^21 + t^2

Passo 5

Substituindo na integral:
I = integral 22t1 + t^2 cdot 1 - t^21 + t^21 - t^21 + t^2 + 1 cdot 21 + t^2 , dt
Simplificando os termos:
I = integral (1 + t^2)t cdot 1 - t^22 cdot 21 + t^2 , dt = integral 1 - t^2t , dt

Passo 6

Agora, vamos integrar termo a termo:
integral 1t , dt - integral t , dt = ln |t| - t^22 + C
Substituindo I = ln | tan(x2) | - 12 tan^2(x2) + C :

Resposta

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