Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo juntos! A gente precisa calcular a integral . Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve funções trigonométricas no denominador. Para resolver isso, vamos usar um pouco de manipulação algébrica e identidades trigonométricas. Vamos passo a passo para deixar tudo bem claro!
Passo 2
Primeiro, vamos facilitar o denominador. Temos . Vamos combinar e usando a identidade trigonométrica:
Isso simplifica a expressão para:
Passo 3
Agora, nosso integrando fica:
Para facilitar a integração, vamos fazer uma substituição. Vamos chamar:
Isso significa que . Substituindo na integral:
Passo 4
Vamos manipular a expressão no denominador para torná-la mais simples. Podemos fatorar o 2:
Portanto, a integral fica:
Passo 5
Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição trigonométrica. Queremos simplificar o denominador, então vamos definir:
Usando as identidades de substituição:
Passo 6
Substituindo essas expressões na integral, temos:
Simplificando:
Passo 7
Isso simplifica para:
A integral parece complicada, mas notamos que o denominador pode ser fatorado. Contudo, para manter a simplicidade, podemos usar uma substituição extra ou reconhecer que a integral é uma combinação de funções racionais que podem ser resolvidas por frações parciais.
Passo 8
Após realizar as devidas manipulações e simplificações (que envolvem frações parciais e logaritmos), encontramos que a integral se resolve para: