Calcule as integrais: integral0^a d x(a^2+x^2)^3 / 2 ; a>0

Passo 1

Ok, vamos resolver a integral definida . Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais envolvendo funções racionais com potências. Para resolver, vamos precisar usar uma técnica de integração conhecida e entender um pouco sobre integrais de funções que envolvem expressões do tipo .

Passo 2

Primeiro, vamos observar a função que está sendo integrada: integral dx(a^2+x^2)^3 / 2 = xa^2 raiza^2 + x^2 + C . Essa expressão pode parecer complicada, mas podemos simplificá-la usando uma fórmula padrão de integração.
A fórmula que vamos usar é:
Aqui, é a constante de integração, que não precisamos nos preocupar agora já que vamos avaliar a integral definida.

Passo 3

Agora, aplicamos essa fórmula à nossa integral definida de 0 a integral0^a dx(a^2+x^2)^3 / 2 = xa^2 raiza^2 + x^2 |0^a :
Isso significa que vamos substituir por e depois por 0 na expressão que encontramos.

Passo 4

Primeiro, substituímos aa^2 raiza^2 + a^2 = aa^2 raiz2a^2 = aa^2 cdot a raiz2 = 1a raiz2 :
0a^2 raiza^2 + 0^2 = 0
Agora, substituímos :

Resposta

Portanto, o valor da integral é .

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