Verifique que wxy = wyx :
w = x^2 / (x + y)
R_: w_xy = w_yx = (-2 x^2 y - 2 x y^2) / (x + y)^4

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente verificar que as segundas derivadas parciais cruzadas de são iguais, ou seja, . Isso envolve cálculo de derivadas parciais e um pouquinho de álgebra. Vamos precisar usar a regra do quociente e a regra da cadeia para derivar.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , que é . Usando a regra do quociente:
A derivada de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação a para achar . Temos:
Aplicando a regra do quociente novamente:
Simplificando o numerador:
Factorando :

Passo 4

Agora, vamos calcular , a derivada de em relação a :
Então,

Passo 5

Em seguida, derivamos em relação a para encontrar :
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Factorando :
Simplificando:

Resposta

Assim, verificamos que , comprovando que as derivadas parciais cruzadas são iguais.

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