Verifique que
:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente verificar que as segundas derivadas parciais cruzadas de
são iguais, ou seja,
. Isso envolve cálculo de derivadas parciais e um pouquinho de álgebra. Vamos precisar usar a regra do quociente e a regra da cadeia para derivar.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, que é
. Usando a regra do quociente:
A derivada de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
para achar
. Temos:
Aplicando a regra do quociente novamente:
Simplificando o numerador:
Factorando
:
Passo 4
Agora, vamos calcular
, a derivada de
em relação a
:
Então,
Passo 5
Em seguida, derivamos
em relação a
para encontrar
:
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Factorando
:
Simplificando:
Resposta
Assim, verificamos que
, comprovando que as derivadas parciais cruzadas são iguais.
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