Mostre que cada uma das funções dadas satisfaz a equação de Laplace partial^2 zpartial x^2+partial^2 zpartial y^2=0
z=5 x y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrarmos que a função partial^2 zpartial x^2 + partial^2 zpartial y^2 = 0 satisfaz a equação de Laplace, que é dada por:
Para resolver isso, vamos precisar calcular as segundas derivadas parciais de em relação a e , e depois somar esses resultados para ver se a soma é igual a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada parcial de partial zpartial x = partialpartial x(5xy) = 5y em relação a . A derivada parcial nos ajuda a entender como a função muda quando apenas uma das variáveis muda.
Isso significa que, mantendo constante, a taxa de variação de em relação a é .

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de partial^2 zpartial x^2 = partialpartial x(5y) = 0 em relação a . Isso nos mostra como a taxa de variação de em relação a muda quando muda.
Como é constante em relação a , a segunda derivada é zero.

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a primeira derivada parcial de partial zpartial y = partialpartial y(5xy) = 5x em relação a :
Aqui, mantendo constante, a taxa de variação de em relação a é .

Passo 5

Agora, calculamos a segunda derivada parcial de partial^2 zpartial y^2 = partialpartial y(5x) = 0 em relação a :
Assim como antes, é constante em relação a , então a segunda derivada é zero.

Passo 6

Finalmente, vamos somar as duas segundas derivadas parciais que calculamos:
partial^2 zpartial x^2 + partial^2 zpartial y^2 = 0 + 0 = 0

Resposta

Como a soma das segundas derivadas parciais de é igual a zero, a função satisfaz a equação de Laplace.

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