Mostre que cada uma das funções dadas satisfaz a equação de Laplace
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrarmos que a função
satisfaz a equação de Laplace, que é dada por:
Para resolver isso, vamos precisar calcular as segundas derivadas parciais de
em relação a
e
, e depois somar esses resultados para ver se a soma é igual a zero.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a primeira derivada parcial de
em relação a
. A derivada parcial nos ajuda a entender como a função muda quando apenas uma das variáveis muda.
Isso significa que, mantendo
constante, a taxa de variação de
em relação a
é
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de
em relação a
. Isso nos mostra como a taxa de variação de
em relação a
muda quando
muda.
Como
é constante em relação a
, a segunda derivada é zero.
Passo 4
Em seguida, vamos calcular a primeira derivada parcial de
em relação a
:
Aqui, mantendo
constante, a taxa de variação de
em relação a
é
.
Passo 5
Agora, calculamos a segunda derivada parcial de
em relação a
:
Assim como antes,
é constante em relação a
, então a segunda derivada é zero.
Passo 6
Finalmente, vamos somar as duas segundas derivadas parciais que calculamos:
Resposta
Como a soma das segundas derivadas parciais de
é igual a zero, a função satisfaz a equação de Laplace.
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Verifique que
:
Calcule as integrais: