Calcule as integrais.
integral0^2 integral2^pi / 2 x sin y d y d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral dupla: . Estamos lidando com cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais duplas. Para resolver isso, vamos primeiro integrar em relação a e depois em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte interna da integral, que é x integral sin y , dy = -x cos y + C . Aqui, -x cos(pi2) + x cos(2) é tratado como uma constante porque estamos integrando em relação a 0 + x cos(2) = x cos(2) .
A integral de em relação a é:
Agora, vamos avaliar essa expressão de até :
Sabemos que , então simplifica para:

Passo 3

Agora que temos a integral em relação a integral0^2 x cos(2) , dx resolvida, vamos integrar o resultado em relação a cos(2) integral0^2 x , dx :
x^22 + C
Como cos(2) ( 2^22 - 0^22 ) = cos(2) ( 42 ) = cos(2) times 2 = 2 cos(2) é uma constante, podemos tirá-la da integral:
A integral de em relação a é:
Então, avaliando de a :

Resposta

O valor da integral é .

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