Utilize coordenadas cilíndricas.
Calcule integral triplaE x^2 d V, onde E é o sólido que está dentro do cilindro x^2+y^2=1, acima do plano z=0 e abaixo do cone z^2=4 x^2+4 y^2.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral tripla de sobre o sólido . Esse sólido está dentro do cilindro , acima do plano e abaixo do cone . Para resolver isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que facilitam bastante quando trabalhamos com cilindros e cones.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como transformar as equações para coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
x = r cos theta, y = r sin theta, z = z
E o elemento de volume dV = r , dz , dr , dtheta é dado por:

Passo 3

Agora, vamos reescrever as superfícies que delimitam o sólido r^2 = 1 Rightarrow r = 1 em coordenadas cilíndricas:
  1. Cilindro z = 0 :
z^2 = 4r^2 Rightarrow z = 2r
  1. Plano :
  1. Cone :
(Consideramos apenas já que está acima do plano )

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites de integração para , e :
  • varia de 0 a 1 (raio do cilindro).
  • varia de 0 a (círculo completo).
  • varia de 0 a (do plano ao cone).

Passo 5

A integral tripla em coordenadas cilíndricas fica:
integral triplaE x^2 , dV = integral0^2pi integral0^1 integral0^2r (r cos theta)^2 cdot r , dz , dr , dtheta
Simplificando a expressão:
= integral0^2pi integral0^1 integral0^2r r^3 cos^2 theta , dz , dr , dtheta

Passo 6

Vamos integrar em relação a integral0^2r dz = 2r primeiro:
= integral0^2pi integral0^1 2r cdot r^3 cos^2 theta , dr , dtheta = integral0^2pi integral0^1 2r^4 cos^2 theta , dr , dtheta
Assim, a integral fica:

Passo 7

Integrando em relação a integral0^1 2r^4 , dr = 2 cdot [ r^55 ]0^1 = 25 :
25 integral0^2pi cos^2 theta , dtheta
A integral agora é:

Passo 8

Sabemos que:
integral0^2pi cos^2 theta , dtheta = pi
Portanto:
25 cdot pi = 2pi5

Resposta

O valor da integral tripla é .

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