Utilize coordenadas cilíndricas.
Calcule
, onde
é o sólido que está dentro do cilindro
, acima do plano
e abaixo do cone
.
Calcule
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral tripla de
sobre o sólido
. Esse sólido está dentro do cilindro
, acima do plano
e abaixo do cone
. Para resolver isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que facilitam bastante quando trabalhamos com cilindros e cones.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como transformar as equações para coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
E o elemento de volume
é dado por:
Passo 3
Agora, vamos reescrever as superfícies que delimitam o sólido
em coordenadas cilíndricas:
- Cilindro
:
- Plano
:
- Cone
:
(Consideramos apenas
já que está acima do plano
)
Passo 4
Agora, vamos determinar os limites de integração para
,
e
:
-
varia de 0 a 1 (raio do cilindro). -
varia de 0 a (círculo completo). -
varia de 0 a (do plano ao cone).
Passo 5
A integral tripla em coordenadas cilíndricas fica:
Simplificando a expressão:
Passo 6
Vamos integrar em relação a
primeiro:
Assim, a integral fica:
Passo 7
Integrando em relação a
:
A integral agora é:
Passo 8
Sabemos que:
Portanto:
Resposta
O valor da integral tripla é
.