Seja
Determine o conjunto dos pontos de continuidade de
.
Determine o conjunto dos pontos de continuidade de
Passo 1
Então, a gente tem uma função
que muda de fórmula dependendo se o ponto
é
ou não. O objetivo aqui é descobrir em quais lugares essa função é contínua. Para isso, vamos envolver o estudo da continuidade de funções de duas variáveis e analisar os limites quando
se aproxima de
.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para os pontos que não são
. Nesses casos, a função é dada por
Aqui, o denominador
nunca é zero, já que
. Como estamos lidando com uma razão de polinômios onde o denominador não zera, sabemos que a função é contínua em todos esses pontos.
Passo 3
Agora, o ponto crítico é
. Pra função ser contínua nesse ponto, o limite de
quando
se aproxima de
tem que ser igual ao valor da função nesse ponto, que é
.
Passo 4
Vamos calcular esse limite usando diferentes caminhos de aproximação. Por exemplo, se a gente se aproxima de
ao longo do eixo
:
Quando
se aproxima de
,
não tem limite porque vai para
ou
, dependendo de como
se aproxima de
. Como o limite não existe de forma consistente, a função não é contínua em
.
Resposta
Portanto, a função
é contínua em todos os pontos do plano, exceto no ponto
.