Seja f(x, y) = { (x - 3y) / (x^2 + y^2), se (x, y) ≠ (0, 0); 0, se (x, y) = (0, 0) }
Determine o conjunto dos pontos de continuidade de f.

Passo 1

Então, a gente tem uma função que muda de fórmula dependendo se o ponto é ou não. O objetivo aqui é descobrir em quais lugares essa função é contínua. Para isso, vamos envolver o estudo da continuidade de funções de duas variáveis e analisar os limites quando se aproxima de .

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para os pontos que não são . Nesses casos, a função é dada por
Aqui, o denominador nunca é zero, já que . Como estamos lidando com uma razão de polinômios onde o denominador não zera, sabemos que a função é contínua em todos esses pontos.

Passo 3

Agora, o ponto crítico é . Pra função ser contínua nesse ponto, o limite de quando se aproxima de tem que ser igual ao valor da função nesse ponto, que é .

Passo 4

Vamos calcular esse limite usando diferentes caminhos de aproximação. Por exemplo, se a gente se aproxima de ao longo do eixo :
Quando se aproxima de , não tem limite porque vai para ou , dependendo de como se aproxima de . Como o limite não existe de forma consistente, a função não é contínua em .

Resposta

Portanto, a função é contínua em todos os pontos do plano, exceto no ponto .

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