Calcule a integral dupla dada, colocando-a em coordenadas polares. $\iint_{R} e^{-x^{2}-y^{2}} d A$, onde $D$ é a região limitado pelo semicírculo $x=\sqrt{4-y^{2}}$ e o eixo $y$.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla
usando coordenadas polares. O enunciado diz que
é a região limitada pelo semicírculo
e pelo eixo
. Vamos precisar saber sobre coordenadas polares e como converter integrais de coordenadas cartesianas para polares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
. A equação
representa o semicírculo direito da circunferência de raio 2, já que
. Então,
é a metade direita do círculo de raio 2, limitado pelo eixo
.
Passo 3
Agora, vamos mudar para coordenadas polares. Lembrando que em coordenadas polares,
e
. Além disso, o elemento de área
em coordenadas polares é
.
Passo 4
Vamos determinar os limites de integração. Como
é a metade direita do círculo de raio 2:
-
varia de 0 a 2. -
varia de a , cobrindo o lado direito do círculo.
Passo 5
Substituindo na integral original:
Passo 6
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Fazendo a substituição
, então
, ou
. Assim:
Passo 7
Agora, substituímos de volta na integral original:
Resposta
Exercícios relacionados
Utilize coordenadas cilíndricas.
Calcule , onde
é o sólido que está dentro do cilindro
, acima do plano
e abaixo do cone
.
Calcule
Calcule as integrais.
<html><head></head><body><div>Esboçar o hodógrafo das seguintes funções vetoriais: <span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.566ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“35.642ex” height=“3.072ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -1108 15753.8 1358”><title>f(t) = (4 - 4t) i + (4 - 4t) j, t in [0, 2]</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“TeXAtom” data-mjx-texclass=“ORD”><g data-mml-node=“mover”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D453” d=“M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 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