Calcule a integral dupla dada, colocando-a em coordenadas polares.
integral duplaR e^-x^2-y^2 d A, onde D é a região limitado pelo semicírculo x=raiz4-y^2 e o eixo y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla usando coordenadas polares. O enunciado diz que é a região limitada pelo semicírculo e pelo eixo . Vamos precisar saber sobre coordenadas polares e como converter integrais de coordenadas cartesianas para polares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . A equação representa o semicírculo direito da circunferência de raio 2, já que . Então, é a metade direita do círculo de raio 2, limitado pelo eixo .

Passo 3

Agora, vamos mudar para coordenadas polares. Lembrando que em coordenadas polares, e . Além disso, o elemento de área em coordenadas polares é .

Passo 4

Vamos determinar os limites de integração. Como é a metade direita do círculo de raio 2:
  • varia de 0 a 2.
  • varia de a , cobrindo o lado direito do círculo.

Passo 5

Substituindo na integral original:
integral duplaR e^-x^2-y^2 dA = integral-pi2^pi2 integral0^2 e^-r^2 cdot r , dr , dtheta

Passo 6

Vamos resolver a integral interna em relação a integral0^2 r e^-r^2 dr :
- 12 integral0^-4 e^u du = 12 integral-4^0 e^u du = 12 ( e^0 - e^-4 ) = 12 (1 - e^-4)
Fazendo a substituição , então , ou . Assim:

Passo 7

Agora, substituímos de volta na integral original:
integral-pi2^pi2 12 (1 - e^-4) dtheta = 12 (1 - e^-4) integral-pi2^pi2 dtheta = 12 (1 - e^-4) cdot pi

Resposta

pi2 (1 - e^-4)

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