Calcule a integral dupla dada, colocando-a em coordenadas polares.
, onde
é a região limitado pelo semicírculo
e o eixo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla
usando coordenadas polares. O enunciado diz que
é a região limitada pelo semicírculo
e pelo eixo
. Vamos precisar saber sobre coordenadas polares e como converter integrais de coordenadas cartesianas para polares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
. A equação
representa o semicírculo direito da circunferência de raio 2, já que
. Então,
é a metade direita do círculo de raio 2, limitado pelo eixo
.
Passo 3
Agora, vamos mudar para coordenadas polares. Lembrando que em coordenadas polares,
e
. Além disso, o elemento de área
em coordenadas polares é
.
Passo 4
Vamos determinar os limites de integração. Como
é a metade direita do círculo de raio 2:
-
varia de 0 a 2. -
varia de a , cobrindo o lado direito do círculo.
Passo 5
Substituindo na integral original:
Passo 6
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Fazendo a substituição
, então
, ou
. Assim:
Passo 7
Agora, substituímos de volta na integral original: