Calcule onde é uma curva fechada, por partes, simples, fronteira de um conjunto , cujo interior contém o círculo . (Sugestão: Aplicar o teorema de GREEN à região compreendida entre a curva e a circunferência).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha
onde é uma curva fechada que envolve o círculo . Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas sobre a região limitada pela curva.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele nos diz que, para uma curva fechada que delimita uma região , a integral de linha de um campo vetorial ao redor de é igual à integral dupla sobre da seguinte expressão:
Então, vamos identificar e no nosso caso.

Passo 3

No exercício, temos:
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais e .

Passo 4

Vamos calcular :
Agora, :

Passo 5

Agora, vamos aplicar o Teorema de Green substituindo essas derivadas na expressão:
Substituindo:

Passo 6

A integral dupla resultou em zero:
Então, pela aplicação do Teorema de Green, a integral de linha também é zero.

Resposta

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, onde é o segmento ligando os pontos e .
Suponha que a companhia elétrica estabeleça diferentes valores para o kWh de acordo com a faixa de consumo mensal residencial. Se o consumo foi menor ou igual a 100 kWh o valor a ser pago por kWh é 0,75 reais, se o consumo for maior que 100 kWh e menor ou igual a 200 kWh o valor a ser pago por kWh é 0,80 reais, se o consumo for maior que 200 e menor ou igual a 300 kWh o valor a ser pago por kWh é 0,85 reais e se o consumo for superior a 300 kWh o valor a ser pago por kWh é 0,90 reais.
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