Calcule ointgamma -yx^2+y^2 d x+xx^2+y^2 onde gamma é uma curva fechada, C^1 por partes, simples, fronteira de um conjunto B, cujo interior contém o círculo x^2+y^2 <= 1. (Sugestão: Aplicar o teorema de GREEN à região K compreendida entre a curva gamma e a circunferência).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha
ointgamma -yx^2+y^2 , dx + xx^2+y^2 , dy
onde é uma curva fechada que envolve o círculo . Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas sobre a região limitada pela curva.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele nos diz que, para uma curva fechada ointgamma P , dx + Q , dy = integral duplaK ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dA que delimita uma região , a integral de linha de um campo vetorial ao redor de é igual à integral dupla sobre da seguinte expressão:
Então, vamos identificar e no nosso caso.

Passo 3

No exercício, temos:
P = -yx^2+y^2 e Q = xx^2+y^2
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais e .

Passo 4

Vamos calcular partial Qpartial x = partialpartial x ( xx^2+y^2 ) = (1)(x^2+y^2) - x(2x)(x^2+y^2)^2 = y^2 - x^2(x^2+y^2)^2 :
partial Ppartial y = partialpartial y ( -yx^2+y^2 ) = (-1)(x^2+y^2) - (-y)(2y)(x^2+y^2)^2 = -(x^2+y^2) + 2y^2(x^2+y^2)^2 = -x^2+y^2(x^2+y^2)^2
Agora, :

Passo 5

Agora, vamos aplicar o Teorema de Green substituindo essas derivadas na expressão:
ointgamma P , dx + Q , dy = integral duplaK ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dA
Substituindo:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = y^2 - x^2(x^2+y^2)^2 - -x^2+y^2(x^2+y^2)^2 = y^2 - x^2 + x^2 - y^2(x^2+y^2)^2 = 0

Passo 6

A integral dupla resultou em zero:
integral duplaK 0 , dA = 0
Então, pela aplicação do Teorema de Green, a integral de linha também é zero.

Resposta

ointgamma -yx^2+y^2 , dx + xx^2+y^2 , dy = 0

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