Calcule
onde
é uma curva fechada,
por partes, simples, fronteira de um conjunto
, cujo interior contém o círculo
. (Sugestão: Aplicar o teorema de GREEN à região
compreendida entre a curva
e a circunferência).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha
onde
é uma curva fechada que envolve o círculo
. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas sobre a região limitada pela curva.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele nos diz que, para uma curva fechada
que delimita uma região
, a integral de linha de um campo vetorial
ao redor de
é igual à integral dupla sobre
da seguinte expressão:
Então, vamos identificar
e
no nosso caso.
Passo 3
No exercício, temos:
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais
e
.
Passo 4
Vamos calcular
:
Agora,
:
Passo 5
Agora, vamos aplicar o Teorema de Green substituindo essas derivadas na expressão:
Substituindo:
Passo 6
A integral dupla resultou em zero:
Então, pela aplicação do Teorema de Green, a integral de linha também é zero.