Considerando que todas as derivadas necessárias existam e seja contínuas, mostre que, se
satisfizer a equação de Laplace
então
para todas as curvas
fechadas às quais o teorema de Green se aplica.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem uma função
que satisfaz a equação de Laplace, que é
. A tarefa é mostrar que, para qualquer curva fechada
onde o Teorema de Green se aplica, o seguinte integral de linha é igual a zero:
Vamos precisar usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha ao redor de uma curva fechada com integrais duplas sobre a região limitada por essa curva.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que diz o Teorema de Green. Ele estabelece que:
onde
é a região interior à curva fechada
.
No nosso caso, temos:
Então, vamos calcular
.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Então, a diferença é:
Passo 4
Mas sabemos que
satisfaz a equação de Laplace:
Portanto, substituindo na expressão anterior:
Passo 5
Agora, aplicando o Teorema de Green, temos:
Ou seja, o integral de linha ao redor de qualquer curva fechada
que satisfaz as condições do Teorema de Green é igual a zero.
Resposta
Portanto, mostramos que:
para todas as curvas fechadas
às quais o Teorema de Green se aplica.