Considerando que todas as derivadas necessárias existam e seja contínuas, mostre que, se satisfizer a equação de Laplace então
para todas as curvas fechadas às quais o teorema de Green se aplica.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem uma função que satisfaz a equação de Laplace, que é . A tarefa é mostrar que, para qualquer curva fechada onde o Teorema de Green se aplica, o seguinte integral de linha é igual a zero:
Vamos precisar usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha ao redor de uma curva fechada com integrais duplas sobre a região limitada por essa curva.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que diz o Teorema de Green. Ele estabelece que:
onde é a região interior à curva fechada .
No nosso caso, temos:
Então, vamos calcular .

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
Então, a diferença é:

Passo 4

Mas sabemos que satisfaz a equação de Laplace:
Portanto, substituindo na expressão anterior:

Passo 5

Agora, aplicando o Teorema de Green, temos:
Ou seja, o integral de linha ao redor de qualquer curva fechada que satisfaz as condições do Teorema de Green é igual a zero.

Resposta

Portanto, mostramos que:
para todas as curvas fechadas às quais o Teorema de Green se aplica.

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Calcule onde é uma curva fechada, por partes, simples, fronteira de um conjunto , cujo interior contém o círculo . (Sugestão: Aplicar o teorema de GREEN à região compreendida entre a curva e a circunferência).
Calcule as integrais
, onde é o segmento ligando os pontos e .
Calcule a integral de linha do campo sobre a curva limitada acima pela curva e abaixo pela curva . (sentido de circulação é anti-horário).
Calcule as integrais
cosysen , onde é a união dos segmentos de retas e .