Considerando que todas as derivadas necessárias existam e seja contínuas, mostre que, se f(x, y) satisfizer a equação de Laplace partial^2 fpartial x^2+partial^2 fpartial y^2=0 então
ointgamma partial fpartial y d x-partial fpartial x d y=0
para todas as curvas gamma fechadas às quais o teorema de Green se aplica.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem uma função ointgamma partial fpartial y dx - partial fpartial x dy = 0 que satisfaz a equação de Laplace, que é . A tarefa é mostrar que, para qualquer curva fechada onde o Teorema de Green se aplica, o seguinte integral de linha é igual a zero:
Vamos precisar usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha ao redor de uma curva fechada com integrais duplas sobre a região limitada por essa curva.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que diz o Teorema de Green. Ele estabelece que:
ointgamma P dx + Q dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
onde P = partial fpartial y e Q = -partial fpartial x é a região interior à curva fechada .
No nosso caso, temos:
Então, vamos calcular .

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
partial Qpartial x = partialpartial x ( -partial fpartial x ) = -partial^2 fpartial x^2
partial Ppartial y = partialpartial y ( partial fpartial y ) = partial^2 fpartial y^2
Então, a diferença é:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = -partial^2 fpartial x^2 - partial^2 fpartial y^2

Passo 4

Mas sabemos que partial^2 fpartial x^2 + partial^2 fpartial y^2 = 0 satisfaz a equação de Laplace:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = -0 = 0
Portanto, substituindo na expressão anterior:

Passo 5

Agora, aplicando o Teorema de Green, temos:
ointgamma partial fpartial y dx - partial fpartial x dy = integral duplaD 0 , dA = 0
Ou seja, o integral de linha ao redor de qualquer curva fechada que satisfaz as condições do Teorema de Green é igual a zero.

Resposta

Portanto, mostramos que:
ointgamma partial fpartial y dx - partial fpartial x dy = 0
para todas as curvas fechadas às quais o Teorema de Green se aplica.

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