Calcule as integrais iteradas. integral0^1 integralx^2^x x y^2 d y d x

Passo 1

Estamos com um exercício de cálculo que pede para calcular uma integral dupla, também conhecida como integral iterada. Vamos precisar entender como resolver integrais sobre duas variáveis e seguir os limites de integração fornecidos.

Passo 2

A integral fornecida é integral0^1 integralx^2^x x y^2 , dy , dx. Isso significa que para cada valor de x entre 0 e 1, vamos integrar em relação a y de x^2 até x.

Passo 3

Vamos começar resolvendo a integral interna, que é em relação a y. Mantendo x como constante, integramos x y^2 com respeito a y.

Passo 4

A antiderivada de x y^2 em relação a y é x cdot y^33. Então, avaliamos essa expressão de y = x^2 até y = x:
x cdot x^33 - x cdot (x^2)^33 = x^43 - x^73

Passo 5

Agora, temos uma expressão para a integral externa:
integral0^1 ( x^43 - x^73 ) dx
Podemos separar essa integral em duas partes:
13 integral0^1 x^4 , dx - 13 integral0^1 x^7 , dx

Passo 6

Vamos calcular cada integral separadamente. A antiderivada de x^n é x^n+1n+1. Assim:
13 [ x^55 ]0^1 - 13 [ x^88 ]0^1 = 13 ( 15 - 0 ) - 13 ( 18 - 0 )

Passo 7

Simplificando as frações:
115 - 124 = 8 - 5120 = 3120 = 140

Resposta

O valor da integral dupla é 140.

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