Calcule as integrais iteradas. integral0^3 integral0^raiz9-y^2 y d x d y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral dupla: . Estamos trabalhando com integrais iteradas, parte do cálculo integral que lida com áreas e volumes. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar funções de duas variáveis, primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos integrar em relação a integral0^raiz9-y^2 y , dx = y cdot [ x ]0^raiz9 - y^2 = y cdot raiz9 - y^2 . Olha só, a integral interna é . Aqui, é tratado como uma constante porque a integração é em relação a .

Passo 3

Agora, a integral dupla virou uma integral simples em relação a integral0^3 y cdot raiz9 - y^2 , dy :
Para resolver essa integral, vamos usar a substituição. Vamos deixar , então , ou seja, .

Passo 4

Substituindo na integral:
integral y cdot raiz9 - y^2 , dy = integral raizu cdot (-12 du) = -12 integral u^1/2 , du

Passo 5

Agora, integramos -12 cdot 23 u^3/2 + C = -13 u^3/2 + C :
Mas como estamos calculando uma integral definida, vamos calcular os limites de integração. Quando , . Quando , .

Passo 6

Aplicando os limites:
-13 [ u^3/2 ]9^0 = -13 (0 - 9^3/2) = -13 (-27) = 9

Resposta

O valor da integral dupla é 9.

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