Inverter a ordem de integração.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para inverter a ordem de integração de uma integral dupla. Estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com integrais duplas. Para resolver isso, vamos precisar entender a região de integração e como reescrever os limites de integração trocando as variáveis de ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os limites atuais da integral. A integral está definida de
até
, e para cada
,
varia de
até
.
Passo 3
Agora, vamos desenhar ou imaginar essa região no plano
para entender melhor como
e
estão relacionados. O limite inferior para
é
e o superior é
.
Passo 4
Para inverter a ordem de integração, precisamos expressar
em função de
. Observando os limites de
, sabemos que
varia desde
até
. Precisamos encontrar os limites de
primeiro.
Passo 5
Vamos determinar os valores mínimo e máximo de
. Quando
,
começa em 0 (já que
) e vai até
. Quando
,
vai de
até
.
Passo 6
Então,
varia de 0 até
. Agora, para cada valor de
, precisamos encontrar os limites correspondentes de
.
Passo 7
A partir de
, isolamos
:
E de
, isolamos
:
Passo 8
Portanto, para cada
,
varia de
até
.
Resposta
Após inverter a ordem de integração, a integral fica:
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Calcule:
© todo plano tangente ao cone
passa pela origem.
Calcule as integrais iteradas.
Calcule as integrais iteradas.