Inverter a ordem de integração.
integral0^pi4 integral2 raiz2 xpi^sen(x) f(x, y) d y d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para inverter a ordem de integração de uma integral dupla. Estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com integrais duplas. Para resolver isso, vamos precisar entender a região de integração e como reescrever os limites de integração trocando as variáveis de ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os limites atuais da integral. A integral está definida de até , e para cada , varia de até .

Passo 3

Agora, vamos desenhar ou imaginar essa região no plano para entender melhor como e estão relacionados. O limite inferior para é e o superior é .

Passo 4

Para inverter a ordem de integração, precisamos expressar em função de . Observando os limites de , sabemos que varia desde até . Precisamos encontrar os limites de primeiro.

Passo 5

Vamos determinar os valores mínimo e máximo de . Quando , começa em 0 (já que ) e vai até . Quando , vai de até .

Passo 6

Então, varia de 0 até . Agora, para cada valor de , precisamos encontrar os limites correspondentes de .

Passo 7

A partir de y = 2 raiz2xpi implies raiz2x = y pi2 implies 2x = (y pi2)^2 implies x = y^2 pi^28 , isolamos x = arcsin(y) :
E de , isolamos :

Passo 8

Portanto, para cada , varia de até .

Resposta

Após inverter a ordem de integração, a integral fica:
integral0^raiz22 integraly^2 pi^28^arcsin(y) f(x, y) , dx , dy

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