Calcule as integrais iteradas. integral1 / 4^1 integralx^2^x raizxy d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral iterada juntos! O enunciado pede para calcular a integral . Isso envolve conceitos de cálculo integral, especificamente integrais iteradas, onde integramos uma função em relação a uma variável e depois em relação à outra. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular integrais duplas passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral interna, que é raizxy = raizx cdot 1raizy = raizx cdot y^-1/2 . Aqui, integralx^2^x raizx cdot y^-1/2 , dy é considerado uma constante porque estamos integrando em relação a . Podemos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então, a integral interna fica:

Passo 3

Agora, vamos integrar integral y^-1/2 , dy = 2y^1/2 + C em relação a raizx cdot [2y^1/2]x^2^x = raizx cdot (2raizx - 2raizx^2) . A antiderivada de é , pois:
Portanto, a integral interna se torna:

Passo 4

Sabemos que raizx cdot (2raizx - 2x) = 2x - 2xraizx = 2x - 2x^3/2 para (e no nosso caso, varia de a , que são valores positivos). Então, simplificando:

Passo 5

Agora, temos que integrar essa expressão resultante em relação a integral14^1 (2x - 2x^3/2) , dx no intervalo de 2integral14^1 x , dx - 2integral14^1 x^3/2 , dx a :
Vamos separar essa integral em duas partes:

Passo 6

Calculando a primeira integral:
2integral x , dx = 2 cdot (x^22) = x^2
E a segunda integral:
2integral x^3/2 , dx = 2 cdot (25x^5/2) = 45x^5/2

Passo 7

Agora, aplicamos os limites de integração:
Para a primeira parte:
x^2 gr|14^1 = 1^2 - (14)^2 = 1 - 116 = 1516
Para a segunda parte:
45x^5/2 gr|14^1 = 45(1)^5/2 - 45(14)^5/2 = 45 - 45 cdot 132 = 45 - 140 = 3240 - 140 = 3140

Passo 8

Agora, subtraímos os resultados das duas partes:
1516 - 3140 = 7580 - 6280 = 1380

Resposta

A integral iterada vale .

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