Calcule as integrais iteradas. integral-1^1 integral-x^2^x^2(x^2-y) d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral iterada juntos! O enunciado pede para calcular a integral dupla:
integral-1^1 integral-x^2^x^2 (x^2 - y) , dy , dx
Isso envolve entender integrais iteradas, que são usadas para calcular o volume sob uma superfície em duas dimensões. Aqui, vamos precisar integrar primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a integral interna, que é a integral em relação a integral-x^2^x^2 (x^2 - y) , dy :
Para isso, vamos achar a primitiva da função em relação a .

Passo 3

A primitiva de x^2 cdot y - 12 y^2 em relação a é:
Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de e .

Passo 4

Substituindo os limites na primitiva:
Para x^2 cdot x^2 - 12 (x^2)^2 = x^4 - 12 x^4 = 12 x^4 :
x^2 cdot (-x^2) - 12 (-x^2)^2 = -x^4 - 12 x^4 = -32 x^4
Para 12 x^4 - (-32 x^4) = 12 x^4 + 32 x^4 = 2 x^4 :
Agora, subtraindo os valores:
Então, a integral interna resulta em .

Passo 5

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral-1^1 2x^4 , dx
Vamos resolver essa integral.

Passo 6

A primitiva de 2 cdot x^55 = 25 x^5 em relação a 25 (1)^5 = 25 é:
25 (-1)^5 = -25
Avaliando nos limites de 25 - (-25) = 45 e :
Para :
Para :
Subtraindo:

Resposta

O valor da integral iterada é .

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