Calcule as integrais iteradas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral dupla: . Aqui, estamos lidando com cálculo de integrais iteradas, que fazem parte de tópicos como cálculo multivariável e integração em múltiplas variáveis. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de substituição para simplificar a integral interna e depois integrar em relação a
.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na integral interna: . Para resolver isso, vamos usar uma substituição simples. Vamos deixar
. Então, a derivada de
em relação a
é
, o que significa que
.
Passo 3
Agora, precisamos mudar os limites de integração de
para
. Quando
,
. Quando
, substituindo na equação
, temos
. Então, a integral interna fica:
Passo 4
Fatorando o
que é constante em relação a
, temos:
Sabemos que a integral de é
, então:
Passo 5
Agora substituímos essa expressão de volta na integral externa, obtendo:
Passo 6
Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente. A primeira integral é simples:
Avaliada de
a
:
Passo 7
Para a segunda integral,
, fazemos outra substituição. Deixe
, então
, ou seja,
. A integral fica:
Avaliando de
a
:
Resposta
Somando as duas partes, temos:
Portanto, o valor da integral é
.
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