Calcule as integrais iteradas. integralraizpi^raiz2 pi integral0^x^3 sen yx d y d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral dupla: . Aqui, estamos lidando com cálculo de integrais iteradas, que fazem parte de tópicos como cálculo multivariável e integração em múltiplas variáveis. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de substituição para simplificar a integral interna e depois integrar em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral interna: . Para resolver isso, vamos usar uma substituição simples. Vamos deixar . Então, a derivada de em relação a é , o que significa que .

Passo 3

Agora, precisamos mudar os limites de integração de integral0^x^3 sen ( yx ) dy = integral0^x^2 sen(t) cdot x , dt para . Quando , . Quando , substituindo na equação , temos . Então, a integral interna fica:

Passo 4

Fatorando o x integral0^x^2 sen(t) , dt que é constante em relação a x [ -cos(t) ]0^x^2 = x ( -cos(x^2) + cos(0) ) = x ( 1 - cos(x^2) ) , temos:
Sabemos que a integral de é , então:

Passo 5

Agora substituímos essa expressão de volta na integral externa, obtendo:
integralraizpi^raiz2 pi x ( 1 - cos(x^2) ) dx = integralraizpi^raiz2 pi x , dx - integralraizpi^raiz2 pi x cos(x^2) , dx

Passo 6

Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente. A primeira integral é simples:
integral x , dx = 12x^2
Avaliada de 12 ( (raiz2 pi)^2 - (raizpi)^2 ) = 12 (2pi - pi) = pi2 a :

Passo 7

Para a segunda integral, 12 integral cos(u) , du = 12 sen(u) + C = 12 sen(x^2) + C , fazemos outra substituição. Deixe 12 ( sen(2pi) - sen(pi) ) = 12 (0 - 0) = 0 , então , ou seja, . A integral fica:
Avaliando de a :

Resposta

Somando as duas partes, temos:
pi2 - 0 = pi2
Portanto, o valor da integral é .

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