Calcule as integrais iteradas. integral0^1 integral0^x y raizx^2-y^2 d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla: integral0^1 integral0^x y raizx^2-y^2 , dy , dx. Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente integrais iteradas. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar funções que dependem de duas variáveis, usando substituições apropriadas.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral interna, que é em relação a y: integral0^x y raizx^2-y^2 , dy. Para facilitar essa integração, podemos usar uma substituição trigonométrica. Vamos definir y = x sin theta, onde theta é um ângulo.

Passo 3

Com a substituição y = x sin theta, então dy = x cos theta , dtheta. Também, raizx^2 - y^2 se torna raizx^2 - x^2 sin^2 theta = x cos theta. Agora, substituímos tudo na integral:
integral y raizx^2-y^2 , dy = integral x sin theta cdot x cos theta cdot x cos theta , dtheta = x^3 integral sin theta cos^2 theta , dtheta.

Passo 4

Agora, vamos integrar sin theta cos^2 theta em relação a theta. Podemos fazer isso usando substituição: deixe u = cos theta, então du = -sin theta , dtheta. A integral se torna:
- integral u^2 , du = -u^33 + C = -cos^3 theta3 + C.

Passo 5

Voltando à variável original y, lembramos que cos theta = raiz1 - sin^2 theta = raiz1 - y^2x^2 = raizx^2 - y^2x. Substituindo de volta, obtemos:
- (raizx^2 - y^2x)^33 = - (x^2 - y^2)^323x^3.

Passo 6

Agora, avaliamos essa expressão de y = 0 a y = x:
- (x^2 - x^2)^323x^3 + (x^2 - 0)^323x^3 = 0 + x^33x^3 = 13.

Passo 7

Então, a integral interna resulta em 13. Agora, precisamos integrar isso em relação a x:
integral0^1 13 , dx = 13 cdot (1 - 0) = 13.

Resposta

O valor da integral é 13.

Exercícios relacionados

Calcule as integrais iteradas. integral-1^1 integral-x^2^x^2(x^2-y) d y d x
Calcule as integrais iteradas. integralraizpi^raiz2 pi integral0^x^3 sen yx d y d x
Calcule as integrais iteradas. integral1^2 integral0^y^2 e^x / y^2 d x d y
Determinar o plano tangente e a reta normal á superficie x^2/4 + y^2/4 + z^2 - 1 = 0 em P0 = (1, 1, 1/raiz(2))