Calcule as integrais iteradas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla:
. Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente integrais iteradas. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar funções que dependem de duas variáveis, usando substituições apropriadas.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na integral interna, que é em relação a
:
. Para facilitar essa integração, podemos usar uma substituição trigonométrica. Vamos definir
, onde
é um ângulo.
Passo 3
Com a substituição
, então
. Também,
se torna
. Agora, substituímos tudo na integral:
Passo 4
Agora, vamos integrar
em relação a
. Podemos fazer isso usando substituição: deixe
, então
. A integral se torna:
Passo 5
Voltando à variável original
, lembramos que
. Substituindo de volta, obtemos:
Passo 6
Agora, avaliamos essa expressão de
a
:
Passo 7
Então, a integral interna resulta em
. Agora, precisamos integrar isso em relação a
:
Resposta
O valor da integral é
.
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