Calcule as integrais, justificando o raciocínio: integral raizx^2-1x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral de raizx^2-1x , dx. Estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente integrando funções que envolvem raízes quadradas. Para resolver isso, vamos precisar usar uma substituição trigonométrica para simplificar a expressão e facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz. Temos raizx^2 - 1. Para integrar isso, podemos usar uma substituição trigonométrica porque a expressão se parece com uma identidade trigonométrica. Vamos assumir que x = sec(theta), onde theta é um ângulo. Isso nos ajuda porque sabemos que:
sec^2(theta) - 1 = tan^2(theta)

Passo 3

Com a substituição x = sec(theta), precisamos calcular dx. Derivando ambos os lados em relação a theta:
dx = sec(theta)tan(theta) , dtheta
Agora, vamos substituir x e dx na integral original:
integral raizsec^2(theta) - 1sec(theta) cdot sec(theta)tan(theta) , dtheta

Passo 4

Simplificando a expressão dentro da integral:
raizsec^2(theta) - 1 = raiztan^2(theta) = |tan(theta)|
Como theta está no intervalo onde a secante é positiva, podemos simplificar para tan(theta). Então, a integral fica:
integral tan(theta)sec(theta) cdot sec(theta)tan(theta) , dtheta = integral tan^2(theta) , dtheta

Passo 5

Sabemos que tan^2(theta) = sec^2(theta) - 1. Então, a integral se torna:
integral (sec^2(theta) - 1) , dtheta = integral sec^2(theta) , dtheta - integral 1 , dtheta

Passo 6

Integrando termo a termo:
integral sec^2(theta) , dtheta = tan(theta) + C
integral 1 , dtheta = theta + C
Então, a integral completa é:
tan(theta) - theta + C

Passo 7

Agora, precisamos voltar para a variável original, x. Lembramos que fizemos a substituição x = sec(theta), então:
theta = sec^-1(x)
E sabemos que tan(theta) = raizx^2 - 1.

Passo 8

Substituindo de volta na expressão:
raizx^2 - 1 - sec^-1(x) + C

Resposta

A integral de raizx^2-1x , dx é:
raizx^2 - 1 - sec^-1(x) + C

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