Calcule as integrais, justificando o raciocínio:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral de . Estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente integrando funções que envolvem raízes quadradas. Para resolver isso, vamos precisar usar uma substituição trigonométrica para simplificar a expressão e facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz. Temos . Para integrar isso, podemos usar uma substituição trigonométrica porque a expressão se parece com uma identidade trigonométrica. Vamos assumir que , onde é um ângulo. Isso nos ajuda porque sabemos que:

Passo 3

Com a substituição , precisamos calcular . Derivando ambos os lados em relação a :
Agora, vamos substituir e na integral original:

Passo 4

Simplificando a expressão dentro da integral:
Como está no intervalo onde a secante é positiva, podemos simplificar para . Então, a integral fica:

Passo 5

Sabemos que . Então, a integral se torna:

Passo 6

Integrando termo a termo:
Então, a integral completa é:

Passo 7

Agora, precisamos voltar para a variável original, . Lembramos que fizemos a substituição , então:
E sabemos que .

Passo 8

Substituindo de volta na expressão:

Resposta

A integral de é:

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