Calcule as integrais, justificando o raciocínio:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral de
. Estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente integrando funções que envolvem raízes quadradas. Para resolver isso, vamos precisar usar uma substituição trigonométrica para simplificar a expressão e facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz. Temos
. Para integrar isso, podemos usar uma substituição trigonométrica porque a expressão se parece com uma identidade trigonométrica. Vamos assumir que
, onde
é um ângulo. Isso nos ajuda porque sabemos que:
Passo 3
Com a substituição
, precisamos calcular
. Derivando ambos os lados em relação a
:
Agora, vamos substituir
e
na integral original:
Passo 4
Simplificando a expressão dentro da integral:
Como
está no intervalo onde a secante é positiva, podemos simplificar para
. Então, a integral fica:
Passo 5
Sabemos que
. Então, a integral se torna:
Passo 6
Integrando termo a termo:
Então, a integral completa é:
Passo 7
Agora, precisamos voltar para a variável original,
. Lembramos que fizemos a substituição
, então:
E sabemos que
.
Passo 8
Substituindo de volta na expressão:
Resposta
A integral de
é:
Exercícios relacionados
Calcule as integrais, justificando o raciocínio:
- Apresentando o passo a passo, calcule as integrais indefinidas abaixo.
Calcule as integrais, justificando o raciocínio:
Usando frações parciais, calcule as seguintes integrais: