Calcule as integrais, justificando o raciocínio: integral0^pi6 x^3raiz4-x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: .
Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve uma função racional com uma raiz quadrada no denominador. Para resolver isso, vamos usar a técnica de substituição que nos ajuda a simplificar a integral, transformando-a em algo mais fácil de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma substituição que simplifique a expressão dudx = -2x Rightarrow du = -2x , dx Rightarrow dx = -du2x . Uma boa escolha aqui é definir .
Agora, vamos calcular a derivada de em relação a para substituir :

Passo 3

Agora, substituímos integral x^3raiz4 - x^2 , dx = integral x^3raizu (-du2x) = -12 integral x^2raizu , du e -12 integral 4 - uraizu , du na integral original:
Observe que (já que ), então podemos substituir isso na integral:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
-12 integral (4raizu - uraizu) , du = -12 integral (4u^-1/2 - u^1/2) , du
Agora, separando as integrais:
-12 (4 integral u^-1/2 , du - integral u^1/2 , du)

Passo 5

Vamos integrar cada termo separadamente:
  1. -12 (4 cdot 2u^1/2 - 23u^3/2) = -12 (8u^1/2 - 23u^3/2)
Substituindo de volta na expressão:

Passo 6

Distribuindo o -4u^1/2 + 13u^3/2 + C :
-4raiz4 - x^2 + 13(4 - x^2)^3/2 + C
Agora, substituímos de volta:

Passo 7

Agora, aplicamos os limites de integração de [-4raiz4 - x^2 + 13(4 - x^2)^3/2]0^pi6 a -4raiz4 - (pi6)^2 + 13(4 - (pi6)^2)^3/2 :
-4raiz4 - 0 + 13(4 - 0)^3/2 = -4 cdot 2 + 13 cdot 8 = -8 + 83 = -163
Calculando para :
E para :

Resposta

A integral [-4raiz4 - (pi6)^2 + 13(4 - (pi6)^2)^3/2] - (-163) é igual a:
-4raiz4 - (pi6)^2 + 13(4 - (pi6)^2)^3/2 + 163
Simplificando, a resposta final é:

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