Calcule as integrais, justificando o raciocínio:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: .
Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve uma função racional com uma raiz quadrada no denominador. Para resolver isso, vamos usar a técnica de substituição que nos ajuda a simplificar a integral, transformando-a em algo mais fácil de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma substituição que simplifique a expressão . Uma boa escolha aqui é definir .
Agora, vamos calcular a derivada de em relação a para substituir :

Passo 3

Agora, substituímos e na integral original:
Observe que (já que ), então podemos substituir isso na integral:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Agora, separando as integrais:

Passo 5

Vamos integrar cada termo separadamente:
Substituindo de volta na expressão:

Passo 6

Distribuindo o :
Agora, substituímos de volta:

Passo 7

Agora, aplicamos os limites de integração de a :
Calculando para :
E para :

Resposta

A integral é igual a:
Simplificando, a resposta final é:

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Calcule as integrais, justificando o raciocínio:
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Usando frações parciais, calcule as seguintes integrais:
Esboce a região delimitada pelas curvas e . Determine a área desta região.