Calcule as integrais, justificando o raciocínio:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral:
.
Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve uma função racional com uma raiz quadrada no denominador. Para resolver isso, vamos usar a técnica de substituição que nos ajuda a simplificar a integral, transformando-a em algo mais fácil de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma substituição que simplifique a expressão
. Uma boa escolha aqui é definir
.
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
para substituir
:
Passo 3
Agora, substituímos
e
na integral original:
Observe que
(já que
), então podemos substituir isso na integral:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Agora, separando as integrais:
Passo 5
Vamos integrar cada termo separadamente:
Substituindo de volta na expressão:
Passo 6
Distribuindo o
:
Agora, substituímos
de volta:
Passo 7
Agora, aplicamos os limites de integração de
a
:
Calculando para
:
E para
:
Resposta
A integral
é igual a:
Simplificando, a resposta final é:
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Usando frações parciais, calcule as seguintes integrais:
Esboce a região delimitada pelas curvas
e
. Determine a área desta região.